FONCTIONS BETA ET GAMMA

Par définition,

r(a) = / x<^-^e-^dx (a>o),

(a, b) = I x^-^(i — x)^-^ dx (a>o, 6>o).

Intégrons par parties :

V(a -h i) = aT(a), T( n-h i) = \n (n entier).

r aisons x = — - — :

Transformons ^r; — - en produit.

On écrit

ce qui donne

r(a) = lim /i«-i / \i — -57 ^^•

En effet, si Ton pose

on a

e tend vers zéro avec Z, c'est-à-dire avec -•

D'ailleurs, $ étant arbitraire, prenons, par exemple, $ = <?"*; alors

I /i« < r« * rf5 tend vers zéro avec — et nous avons à calculer

[im / ,

^ )«-+-'*-« dy.

d'où la formule demandée.

Prenons donc n entier et posons z'^= y :

I y'-Hi — y)^-^ dy

a a-hi a-h n — 1 J^

r(a) = lim /i« . • . •

n=«L ^ a-4-i a-4-/i — aa-f-Ti — ij

La quantité entre crochets s'écrit, en prenant l'inverse et en posant a == 5,

Les exponentielles sont introduites, conformément aux idées de Weierstrass, pour obtenir un produit infini convergent.

Rappelons que la constante d'Euler est

G = lim ( — I h.. .H -iln)j

Les valeurs o, — i, — a, . . ., — /i, ... sont les pôles de la fonction gamma qui est ainsi étendue à tout le plan de la variable complexe. Faisons le produit :

Cela résulte de ce qu'on a