IH
d'où l'expression
C'est la formule fondamentale
sinaTT
On a la relation capitale
On peut l'établir (Stieltjes) en partant de
/(a?, a) = / M«-* e-« du et en écrivant
puis Ton forme
et l'on intègre dans l'intervalle o — :r en remarquant que, si l'on écrit u = zx^ on a
d'où
On fait alors x = ao.
La démonstration classique de Jacobi consiste à partir de
xa-\ g-tx dx = — —^ ,
On multiplie par y^~^ dy et l'on intègre dans l'intervalle o 00.
Soit la série hyper géométrique de Gauss
17/ . V ci'b a(a -!-i)6(6-+-i) ^
V exprimer au moyen de V intégrale
et en déduire F (a, 6, c, i) exprimé par la fonction gamma (*) (Gauss)
ao
/. xA v* ^(^^-O-'-C^-H/i — l)
(•) Hermite, Cours, 4* édition, 1891.
Posons donc
on a
mais
d'où
r(a-h/i)=a(a-hi)...(a-+-/i — i)r(a),
et, pour :r = I ,
Remarque.
verge, pour x
- Il faut, bien entendu, que la série con- I. Or
Soient
a=a'-\'ia', b = b'-hib''^ c^c'-hic"^
ihi-hl
=l/i-4- -(iH-c'— a'— 6')...= H--(t-Hc'— a'— 6')...,
d'où la convergence pour
d'où la divergence pour
Rappelons que F satisfait à l'équation
(a; — x^)F''-h[c—(a-^b-hi)x]F'-^abF = o,
ce qui se vérifie de suite (G. Jordan, Cours, t. I).
TRANSCENDANTES CLASSIQUES. qS
