EXTENSION ANALYTIQUE DE LA FONCTION GAMMA

a étant réel positif^ ne pouvant pas, d'ailleurs, tendre vers zéro, écrivons, avec M. Prjm (* ),

Dans la première quadrature, développons e~^ en série, il vient

P(«)=r-r-TT +

Or, ceci représente, a étant complexe, une fonction méromorphe dans tout le plan, ayant pour pôles : o, — i,

Dans la seconde quadrature, d'où la valeur zéro de x est exclue, écrivons

Ceci est une fonction entière de a, Q(a). Nous pouvons donc faire l'extension analytique en prenant pour F la définition

Cela fait, M. Grani (-) a obtenu de nouvelles quadratures représentant F dans les diverses régions du plan. Ecrivons

(*) Hbrmite, Cours lith.

(^) Acta tnathemaiicaj t. XXVII.

est bien défini pour

Ji = J'^ -I- J"^, deux parties correspondant aux intervalles d^inlégration o — i , i — oo.

Or,

donc

donc c'est une expression de la fonction gamma pour les valeurs considérées de a.

De même

représentera la fonction gamma pour

Etc.