FONCTION ZETA DE RIEMANN

Développer en série ÎJ(5+i), Soit II (5)=:r(5 -f- 1); nous avons

On a

/xa-l e-nx dx = --^ — - = — — f

a = S -hi (Gauss); n(5)Ç(5-hi)= / x^(e-^-he-^^-\-e-^x..,)dx

(Riemann),

d'où la relation (i).

Développons en série l'intégrale du second membre

de (i) (Stlelljes) :

Pour évaluer a,,, partons de (5) et dérivons n fois :

(4) ïl(«J(o)=r {i^Ye-^dx.

Posons

X = kx' ( A: > o ) ; cela donne

(4') n<«) (o) = A: / (4^A-ar)« e-** ^o:,

d'où nous pouvons tirer

Soit, en elVet,

ykx = ^1 =^ S!x -^ yk, d'où

•A = — 7^^-^ — ni«-»'(o):V'^-----

Efl'ectuons la somme S,.= A^ 4- Ao-h. . .-+- A^:

qS chapitre m.

Nous pouvons encore écrire

d'où trois intégrales.

La première est a/i, la troisième tend vers zéro «ivcc —9 la

deuxième se calcule facilement par dérivation. La dérivée par rapport à r est Ar+i, donnée par (5); la fonction est nulle pour /• = o, et s'obtient en intégrant A,.^| terme à terme, d'où, si l'on peut passer à la limite /• = 00,

ff

Posant

(pour r = 00),

Ceci montre qu'on a

(8) r(^^i)__i = G-G,5-i-— 52 ^sK.,.

Remarque, — Toutes les intégrales ont un sens bien déiini, car

''i^STa.

TRANSCBKDAIiraS CLASSIQUES. 90

n'esl pas délerminéy mais

tend vers zéro quand e et e' tendent vers o.

La troisième, dans Sr, tend vers zéro avec -• En effet,

nous écrirons r = r'-{-r^\ Nous prendrons /•' tel que l'intégrale où r serait /•' ait un sens. Il nous reste en facteur g-('^'+oa? que nous pouvons mettre hors du signe.

(On écrit

•/ft t/ft %/J^ «X

et l'on remarque que — n'a pas une infinité de

racines, j

Quant à C, C|, C3, . . ., ce sont des nombres bien déterminés, comme on le voit en construisant la courbe

On a, par exemple^

ou

D'ailleurs

Nous avons donc des nombres croissants avec Tindice />, toujours moindres que zéro. Ils ont une limite.

Par la formule (8) on vérifiera ce théorème de M. de la Vallée-Poussin (*) :

(*) Annales de la Société scientifique de Bruxelles, iSgô, et Mémoire sur la fonction de Riemann, Bruxelles, 1899.

lOO CHAPITRE m.