A CELLE DE LA FONCTION GAMMA
Démontrer que la fonction a pour pôle le point 4- i et pour zéros les points
Ecrivons, avec Hermile (^),
^J -^FiTT =*"("> -^^(*)-
Ayant choisi, parmi les valeurs de a?*~% nous pouvons poser
Ce qui donne une fonction holomorphe dans lout le plan. Pour la première intégrale, faisons intervenir les nombres de Bernoulli
= hi
F (,) = a>- f-^ - ^ -y tiii; J5iLïi!:^i .
L* — i •! s j^{'Àn)l 'j.n-\-s — ij La série converge pour w << 27:, d'après la relation
F représente une fonction méromorphe admettant les />d/e5 -1-1,0, — I, — 3, — 5, . . .; r admettaiit les pôles o, — 1, — 2, — 3, . . ., on voit que ^{s) a pour pôle le point -h 1 , pour zéros les points — 2, — 4> •••? ^^ ^ pour valeur, au
point — 2 /i -h I ,
(') Oo sait que la foiictior* zèla donne des lois asyniptotiques, dans la théorie des nombres premiers, ( ^ ) Comptes rendus, 1 885.
TRANSCENDANTES CLASSIQUES. lOl
Car, en effet, on a
lira (2 /n-5 — i)r(j) = -T-
Prenons w = i et écrivons encore
-h. . . I dx.
Soit
= h bix -^ biX^,» .'y
Ji= / 1 — î )a:*->rfa7
est bien déterminé pour
J,= f^ ( — ! l^^)xs-^dx
Jq \e-^ — i X 2/
est bien déterminé pour
— I <Si(s)<o.
Etc.
D'ailleurs, comme pour F, on vérifie de suite que J| , Ja, . . . représentent bien F -f- G dans les divers domaines fixés pour cil (5).
Ici encore, d'une intégrale nous passons à des séries et de celles-ci à de nouvelles intégrales (*).
(*) Gram, Acta mathematica, t. XXVII. — Hermite, Cours, Gaulhier- Villars, 1873. — Hkrmitk et Stieltjes, Correspondance. — N. Nielskn, Zylinder funktionen, 1904, et Gamma funktionen, igofi, Teubner, Leipzig. — Riemann-Weber, Partiellen Differential-Gleichungen, Vicweg, Brauoschweig.
U équation aiiK dérivées partielles qui est Ja mieux connue, dans le type elliptique, est ï équation de Laplace,
La PhysiquCy aussi bien que ta théorie des fonctions analytiques, pose à son sujet le problème de Dirichlet.
La question est énorme; nous ne donnons qu\ine esquisse delà solution, après quelques préliminaires sur les Déterminants, les Potentiels de simple et double couche, les Equations intégrales, la Fonction de Green, etc.
L — Déterminants.
1. Déduire l'expression du produit de deux déterminants de l'étude du système linéaire
S {a — X)a? ■+- by H- c-s = o, aiir-+-(6i— X)^-t-Ci-5 = o, ( a^x -+- h^y -\- (cj — \)z = o.
Représentons par P, Q, R les premiers membres de (I) et écrivons le système
/ aP -HajQ-J-ïaR = o, (II) \ pP-+-p,QH-p2R = o,
7P-+-YiQh-YjR =o.
Soit D son déterminant.
D'après la règle de Cramer, si D nest pas nul, le système (II) n'a d'autres solutions que P = Q = R == o.
io3
Donc, pour D^z^o, les systèmes (I), (II) sont équivalents. Écrivons leurs déterminants respectifs
ôi =
6| — X Cl 6j Cl — X
a(a — X) -h ai£i| -f- ajflj Y(a —X) H-Viai-f-Yiai
rf
rr
rf
ff
If
rf
Si 8| est ne//^ (I) admet à^ autres solutions que
donc §2 doit être nul aussi.
Donc les équations en X, 8| = o, 82 = o, ont les mêmes racines.
Lcrivons que le produit des racines est le même :
aa + a]ai + asas 6a -+- ^laiH- ^lOis ca -h Ciai-h cja» a p -h ai pi H- a, p, 6? n- ôi?i-H ^îPj cp + Ci Pi-+-ctpi «Y -*-«iïi-+-aiïi ^V -+-^iYi-HÔiYt cY-Hc,Yi4-c,Yî
2. Développer, par rapport aux puissances de A, /e^ déterminants
Cî
