h /iCT

-f- hcx

H- /iCj

Développer un déterminant quelconque en vidant la diagonale principale. — Le déterminant A, d'après la

Io4 CHAPITRE IV.

définilion même, est une somme de déterminants obtenus en groupant quatre colonnes partielles dans leur or,dre. La constante est

Un terme en h- est donné par

ha IX

huxt

han

hatt

= Aï

ha^i

Remarquons que, si nous prenons tous les déterminante analogues, nous en prenons deux fois trop, car nous supposerions que nous avons à prendre d*abord la colonne i avec la colonne 2, puis la colonne 2 mise la première, avec la colonne i écrite ensuite, etc.

Si donc le symbole ^ représente une sommation relative à tous les groupes d^indices ij\ nous écrivons le coefdcient de h-

De même, nous aurons un terme

et comme un système de colonnes ijk doit figurer une seule fois, alors qu'il a 13 permutations de 3 indices,

nous écrirons le coefficient de h^

lis

«lA-

aji ajj Ujk aki a/cj akk

ÉQUATIONS DU TYPE ELLIPTIQUE. Io5

Tout ceci subsiste quel que soit Tordre du déterminant.

2\ pourrait aussi bien être une sommation avec indices

non différents entre eux, dans un même système, le déterminant correspondant étant nul.

Procédons de même pour B. Il nV a pas de constante ; un terme en h sera

huii

han ha^i

hci

Un terme en h'^ sera

//an hciii

hci

haii b\

/ia2î bi hazz ' bj

hci

«11 «ij; bi

Le mineur bordé indique les éléments auxquels s'appliquera la sommation, avec la même remarque que l'on doit diviser par 1 9. pour h-, etc.

3. Mettons zéro, dans un déterminant, sur toute la diagonale principale; nous pouvons le faire en ajoutant ce qui a été enlevé, c'est-à-dire en ajoutant, de toutes les manières, le produit de k termes de la diagonale par le mineur correspondant, vidé aussi. Par exemple :

-{-«lit

i. Soit bik V imaginaire conjuguée de aik] soient les

deux déterminants conjugués

Montrer que le produit AB a pour maximum le produit des termes de sa diagonale principale*

(J. Hadàmard.)

Supposons le déterminant A du Iroisième ordre. Les termes de la diagonale principale, dans le produit AB, sonl

5| = aii^ii+ait^is+ais^i},

Si = au bu -h «js 6u -4- «« 6s3, 53 = au 631 -+- ajj 65 j -+- «33 bfi.

Nous voulons prouver la relation

(l) AB£ «1^153

par la méthode de Lagrange, après avoir établi les relations

ce qui revient ù diviser les éléments de la première ligne par Y^^i, ....

Prouvons donc (|ue le maximum de AB est égal à un.

Nous devons difl'érencicr la fonction

(3) F = AB — XfSi — Xj5i — Xs53,

dF = \[BXa daik-^ ^Ba dlfik— hi^Uk db,k-\- bi^dau)].

Annulons ceci, d^où ( 4 ) BAa = X| biji, AB/jt = X/O/jt.

D'après les relations (2) et (4)? on a

A\^Ba^,A== X/^a/A^/A,

c'est-à-dire

(j) AB = X|= Xi= X3= X.

Formons le produit des déterminants

A,A-|| = Aî, Il B/;i. Il = ns,

an remarquant que (4) ramène ces déterminants aux déterminants A et B. On a