II. — Théorie du potentiel

I. Potentiel logarithmique de simple couche, — Soit une courbe fermée, plane, sans sin;;ulurités, et dont le rayon de courbure est dérivable.

Soit rps la distance d\m point quelconque/? à un point de la courbe fixé par la valeur s de l'arc.

Soit Y-{s) une fonction continue (densité) attachée à la courbe G.

Le potentiel est défini par l'intégrale prise tout le long de C :

[Dans l'espace on prend - au lieu du logarithme. \

(^) Voir aussi : Ernst Fischer, Archiv der Math. u. Physik, III. Reihe. XIII, qui renvoie au beau livre de H. Minkowski : Géométrie der Zahletij 1896.

1 " Si le point p vient sur la courbe, en ^o, le potentiel existe encore,

2® Le potentiel est continu quand on traverse la courbe.

Ces théorèmes classiques s'établissent facilement.

Pour le piemiei', on partage la courbe en deux parties : RMA-hBA. {fig. 9); s^Pi. et .ÇqB seront infiniment petits de l'ordre <Je yj.

Pour le second, même partage, maïs il faut avoir soin (le prendre s^Pl et ^qB infiniment petits, mais infiniment grands par rapport à SqP, ^ol^'; par exemple, 5o A sera de Tordre de tj, Sq P sera de Tordre de t/+^, A >> o.

2. Potentiel logarithmique de double couche. — Soit un contour C, régulier {fig* 10). Au point M, nous avons

Fig. 10.

une masse — i ; au point voisin M', sur la normale extérieure, une masse + i.

L'ensemble des deux masses crée, en un point P, un potentiel égal à