PM' PM
et MiM'-T-J' — est sa valeur principale lorsque MM' est
du ^ rns r r t
infiniment petit (nous représentons PM par rps). D'après un calcul immédiat
(9.) :7-"-C- = cos(/i, r),
an ^ r r
Tangle étant celui de la direction PM avec la direction w,
normale extérieure.
Si, en M, nous avions une couche de densité (Ji(5), le
potentiel U', en P, provenant de Tare de courbe MM| = ds^
serait donc
cos(/i, r)
— MMX^) ^ ' ' ds,
et pour toute la courbe il suffirait d'intégrer.
Supposons [JL infini de telle sorte que MM'.jjl = v(5), fini; enfin changeons de signe, U étant <C o lorsque le rayon PM rencontre d'abord la couche négative, puis la couche positive.
Par définition, le potentiel de double'couche est {fig* 1 1 )
(3) Wp= f^(s)^2^ds.
Je '/'•<
Traçons l'arc de cercle Mm de centre P et de ravon PM;
Fig. II.
le triangle MmM| peut être regardé comme rectangle,
d'où
i = ddipsi
''ps
Cl) étant l'angle au centre en P; d'où (*)
(4) W^= / y{s)dwps,
diOps étant positif quand le rayon PM rencontre d\ibonl la couche négative, négatif dans le cas contraire.
(M Henri Poincarè, Potentiel newtonien.
IIO CIIINTRE IV.
3. Théorèmes généraux, — i® Lorsque la densité est constante et égale à i : en tout point t, intérieur au contour, le potentiel double est égal à un; en tout point 5o , sur le contour, le potentiel double est égal àiz; il est nul en tout point e extérieur.
Cela résulte de. (4).
2" Soient W,,, W/, W^ les potentiels doubles en un point Sq, sur C, oà la densité est v©, en un point intérieur, infiniment voisin, et en un point extérieur y infiniment voisin ; on a
(5) W,— 9.rvo=Wo— 'ïtVo=We.
Autour de 5o, con^mc précédemment, prenons l^arc AB de Tordre de yj, les distances s^i, s^e étant de l'ordre de Tj*"^^ (A > o). Puis écrivons (4) sous cette forme
W,, = v., / dtaps-+- I (v— Vo)rf(Dp,, la deuxième intégrale étant mise sous la forme
•■^ kMtt •y AU
AMB •^All
Quand p occupe les positions /, Sq^ e, la première intégrale a les valeurs
En ces trois points, les valeurs i\r. J sont infiniment voisines, quand les points sont inliniincnt voisins.
Enfin, dans j figure la fonction (v — v©) qui, v étant continu, est infiniment petite avec l'arc AB.
D'où la formule (5).
On peut écrire ce résultat ainsi :
On le traduira ainsi : le potentiel double est discontinu sur le contour, tandis que le potentiel simple est continu.
4. Dérivée normale du potentiel de simple couche {fie* '^)- — Soient un contour C et une direction X. Si P vient en P', eSectuant un déplacement dCk^ nous avons une variation de |K)tentieI
^^'•=XK^à-^i)'"-
