I- r T^/ . sin(2K4- l)a , "ï^rr./ N r./ \T

lim / F(a) — ^— : ^<ia = -[F(-i-o)-4-F^7c — o)].

K=oo Jq sma 2,

Ceci suppose que F n'est infini qu'en des points isolés (non en a = o ou a = tt) ;

Que l'intégrale de [F| est Jinie et déterminée;

/{jc) dans l'intervalle o — 211 peut être représenté par

S = - ao-4- X,^'« ces ma: -+- bm s'inmx,

a,rt= - / /(ol) cos m OLdoL, bf„= — / /(a) sinmaû?a.

Pour o^x^ 27r,

S=i[/(:r-o)-h/(a?-ho)].

Si /{^) peut devenir infini en des points Ç en nombre fini; si l'intégrale de 1/(^)1 est finie, la formule subsiste, sauf en \, .

Dans un intervalle a — è, o <Ca<ib ^C^itz^ où f{oc) est continu, S converge uniformément.

Entre o et 27r, nous avons un seul développement uniformément convergent, celui de Fourier.

Peut-on avoir un autre développement, à convergence non uniforme, poury(^)?

La fonction satisfaisant à certaines conditions (de Dirichlet ou de C. Jordan, ou définies par des propriétés de certains ensembles)^ la réponse est négative.

Signalons un théorème de P. du Bois-Reymond :

Lorsque 1 — ^-: —/[x)axauneumitepourn = cOy