MA

/SIC \]{'^)d^ (intégrale de Poisson).

0. Unicité de la solution, — La dernière formule montre que les maxima et minima d'une fonction harmonique (dont les dérivées secondes sont continues (sont situés sur le bord du contour C. C'est un théorème capital dont nous donnerons une démonstration élémentaire.

Si donc une fonction de cette sorte est nulle sur C, elle est identiquement nulle dans l'aire C; d'où l'unicité de la solution.

Une remarque s'impose. Donner U sur C, c'est donner, par exemple,

S élant Tare de courbe, on

si Vx et ly de G soni donnés en t.

Celle donnée ne doit offrir aucune sorte d'indéternii' nation, même en un seul point, sinon le théorème ne vaut plus.

Slieltjes (*) donne un exemple d'une admirable simplicité. Soit

Sur le cercle de rayon i, on trouve

/(ert)= — itang-;

r= — s^ est nul sur ce cercle.

C'est une fonction harmonique qui devrait être identiquement nulle dans l'aire. Or cela n'a pas lieu, parce que, au point 0?= — i,y==o, P prend des valeurs dépendant du chemin suivi pour arriver à ce point.

Ainsi le théorème d'unicité exige que la donnée soit bien déterminée au voisinage intérieur du contour (*).

6. Comparaison des fonctions harmoniques et des fonctions synectiques, — Toutes nos formules sont identiques, au fond, à celle de Cauchy :

. -, , rf(z)dz

Donc, de même quey(2) est développable en série de Taylor, P(^,y) etQ(:r,^) sont développables.

Si f{^z) est partout régulière et que son module ne croisse pas avec |^|, c'est une constante (Liouville). Même théorème pour P(j:,j>^).

(') Correspondance d'Hermite et Stieltjes, 2 vol.; Gauthier- Villars. (') Thèse de M. Painlevé {Ann, Fac. Toulouse, 1887).

120 CHAPriRK IV.

Une série de fonctions harmoniques P;j(57, j^), uniformément convergente dans une aire, a pour somme une fonction harmonique (Harnack). Même théorème pour une série de fonctions synectiquesy/i(<5) (Weierstrass).

7. Symétrie de la fonction de Green. — Soit G(a, b^x^y) la fonction de Green nulle sur le contour G et infinie en (a, b) intérieur à C. Prenons un second point intérieur à G, (ai , 6| ).

Appliquons la formule de Green aux deux fonctions G(a, 6, x^y)^ G(ai, 6,, x^ y) et au contour formé par C avec un petit cercle y de centre («, b) et un petit cercle v^ de centre {a^^ 6|) : nous avons de suile

G(a, 6, «1, bi) = G(ai, 6^, a, b).

8. Remarque sur V unicité des solutions. — On doit se méfier des généralisations superficielles. Soient les équations

(i) lu — k^u = o (A:»^o),

(2) lu-^-k^u = o (A:«>o).

On donne u sur un contour fermé G.

Dans ces conditions, la solution de (i) est déterminée. Posons, avec M. Paraf (Ann. de la Fac. de Toulouse,

t. VI),

a- — x^ étant positif dans la région (G), (i) devient

(a^ — x^) ov — 2x 2P — k^(a^ — x-) v = o.

^ ' dx ^ '

Si, dans (G), v avait un maximum positif ou un minimum négatif, ceci donnerait

— A*=o ou -i-A' = o.

Il y a contradiction. D'où Vunicité.

Pour (2) il n'en est pas ainsi. En effet, (2) admet la

solution

or la fonction de Bessel a des racines réelles. Donc (2) admet des solutions nulles sur une circonférence et non identiquement nulles.