Une REMARQUE CAPITALE cst la suîvanle

Développons le déterminant par rapport à la dernière colonne et intégrons ; nous obtenons p termes identiques.

Écrivons le premier :

dxi

(XjiFi)

{XtXi) .

. . {XiXp)

(XiXi) ..

(XpXi) .

(XpXp)

{xxx)

(xxi)

Écrivons le second :

dxi

(x^Xi)

(XzXt)

(XiXi) (XiXi)

(XXi) (xxi)

(XiXp)

Dans le terme T^ , faisons ^2 = 5i ? puis ^1 = $2 ] alors T^ devient

(-i)pf ^at)di, § A

et A est le déterminant de Ï2, au signe près : deux colonnes sont échangées et Xi est remplacé par Ç,, x^ par $2*

Deux signes — se détruisent, le nom de la variable d'in-

tégration ne signifie rien :

f f(x)dx= f f{y)dy.

Donc T^ = T2.

ÉQUATIONS DU TYPE ELLIPTIQUE. l'àS

Faisons remonter la dernière ligne au premier rang :

Up =

s) ds

(xs)

(xxi)

(xxp)

(XiS)

(XiXi)

(x^Xi)

(XpS)

(XpXi)

yXpXp)

On peut enfin remplacer

par

D'où le terme général

i,2,...Ap-l)

(xs)

(XxS)

(XXt) (XiXi)

(Xp-lS) (Xp^iXi)

(xXp-i)

(Xp-iXp-i)

4. JNous écrirons donc, s'il y a convergence, liinA,i = — X / Df('kjX^s)^(s)ds,

et nous aurons

X f ï)fil,x, s) 'S^(s)ds

Telle est la voie par laquelle M. Hilbert (*), dans ses

(*) M. D. Hilbert a obtenu de très beaux résultats dans celte théorie. Voir ses travaux, cités plus loin, et ceux de MM. Otto Tokplitz et Ernst Hellinger, sur les formes quadratiques à une infinité de variables.

Ceci se rattache aux équations linéaires à une infinité d'inconnues

f IIAPITRE IV.

remarquables Travaux, arrive à la célèbre formule de M. Fredholm.

5. Convergence des séries. — Il faut voir que D(X) cl D(X, J7, s) convergent. Or, ce sont des /onctions entières de X, comme on le voit aisément par le théorème de M. fiadamard sur les déterminants, et en employant la formule de Stirling, La solution est donc niéroniorphe en \,

THI^OIIKMES rONDAMEJNTAUX DK M. FilEDHOLM.

Donnons quelques indications sur les principaux résultats du célèbre Mémoire de M. Fredholm. Le lecteur reconstituera les analyses que nous esquissons.