Nous posons, d'après ce qui précède

f{xuy\) A^i.yt) ... A^i-yn) j V'^f ï y\ )

\yuyt, '",yn)

-lin O -^V^^arj,

J\^n,.rn)

Développant le terme général de D^, nous avons n termes identiques, et un autre :

[n U \x^,Xi, .,,,x,J

(Travaux de MM. Hill, Poincaré, H. von Kocii. — E. Schmidt, Cire, di PalermOj 1908) et aux fonctions implicites en nombre infini : Note de l'auteur, {Soc. math, de France, 1908). — Nous supposons /^m; M. Fredholm et M. Hilbert traitent aussi le cas où le noyau f{x,s) est infini, dans certaines conditions.

D'où la formule

(F,) Di(^^^ = Dx/($,rj-X /'/($, T)D,Q^rfT.

En développant le ciëterminnnt p.'ir rapport aux éléments de la première colonne, au lieu de la première ligne, nous avons la formule équivalente

(F,) Di(^) =:Dx/(trj-X f /(T,TjD,(f)./T.

La comparaison donne (Fa) 0= f [/(^T)D»Q^-/(T,Yi)D,Qj^T.

2. Ceci permet de vérifier la solution obtenue, par une sorte d' «Véra/Zo/i. On écrit

et, sous le signe,

(2) ç(,) = ,Ki)-x/ -^—if{t)dt.

En vertu de (F), (i) se réduit à Tidentité

D Ç f(x,s)^{s)ds = 'b f f{x,t)^{t)dt.

Nous avons supposé D ^ o.

3. Soit Xo une racine de la fonction entière D. M. Fredliolm a obtenu la forme de la dérivée -pr— en introduisant de

Cl h"'

nouvelles séries :

On a, de suite,

Développant le déterminant du terme général, dans D/i, suivant la première lignes et intégrant, avec les mêmes remarques, M. Fredholm obtient

XTQî, . . ., 7)71/

(-ir-V($H^«)I>«-l

iQ/»-i

Intégrant encore, en développant le déterminant suivant les termes de la première colonne^ on a, de même,

■ */ \ \TQ2. T^Sj •• -iT^/i/

OU bien, avec une notation nouvelle.

••} Çrt

Çij • • • 1 Srt ."11» • • •? 'Iw

Si D(Xo) = o, Xo esl une racine /i-uple, si pour A=:A(, les fonctions D^ s'anniilenl, /? étant i, 2, 3, ..., (/i — i).

D'après l'expression de la dérivée de D(X), on voit même que Xo est racine, au moins d'ordre /i, dans ce cas.

Dans ces conditions, M. Fredholm prouve :

i" Que Téquation intégrale homogène

(3) c&(a7)-f-Xo / f{x,y)o{y)dy=:o

a n solutions linéairement indépendantes; 2" Que l'équation donnée

(4) ?(^) -^- >^o / /(a?, y) ?(7) dy = ^{x)

est résoluble, si n conditions sont remplies. 4. Xo est donc tel que, pour cette valeur,

La formule (^1) montre que

^1 Çîî ^3t • • "I ç«

est une solution de l'équation homogène. Les développements analogues à ceux donnant (^1) donnent aussi bien la solution

Slî ^î Ç3» • • • » ^/I

{le signe est alterné, pour la symétrie). Nous pouvons aussi bien diviser par

Do( '*''-' '''• )^A0,

•et nous avons n solutions que nous représentons par Li,

l30 CHAPITRE IV.

1^2 ) * * * 7 '^fl *

ï / ^ ^nof ^'$îî?8, .-.,$« \

o. Monlrons que toute solution de (3) est une combinaison linéaire, à coefficients constants, des solutions L. * — (Nous suivons exactement Texposition de M. E. Picard, Cours de la Sorbonne, 1906.)

Etablissons un lemnie :

Soit (34) V équation (3) oit .f{oc^y) est remplacé y g étant quelconque, par

Toute solution de (3) satisfait à (3,). — C'est une vérification immédiate; on est ramené à l'identité

J J ^^^' t)/(t, y) dz dy =J J g{x,y)f{y,-z)dY di.

Donc, au lieu de (3) nous écrivons

0(37)= — Xo/ ^{x,y)fj^{y)dy.

Or, pour pouvoir employer la formule (^3), prenons

Nous avons, d'après (^3), le second membre de (5), d'où

(7) F(a.,jK)=2/($.-,r)Ma?).

ÉQUATIONS DU TYPE ELLIPTIQUE. l3l

Portons la valeur (7) dans (()),

(8) o(ar)=2)A/L/;

A| est indépendant de x. Nous renvoyons à M. Fredholm pour la preuve de l'indépendance des solutions L Etudions maintenant Téquation (4).

6. Conditions relatives à un pôle X© de la solution primitive. — (4) peut avoir une solution, si n conditions sont remplies. (3) étant résolu, nous avons donc une infinité de solutions, pour (4), s'il y en a une.

Ecrivons les équations

(III ) g{x) -+- Xo r f{x, y) ,sr(y) dy = o,

(III,) h(x)^\ f f{y,x)Hy)dy=o.

Les Dy, sont les mêmes; donc on a les mêmes pôles X^ et le même nombre de solutions; soient L celles de (III) et M celles de (III«)-

Uéquation (4) donne

/ (f(x)Mi{x)dx'^'ko f f f{x,y)^{y)^i{oo)dxdy

i = / Ui(x)^{x)dx.

Le premier membre est nul, d'après (III«).

Donc on doit avoir

(10) o = a/= / ^\i{x)^{x) dx.

Ce sont les conditions.