III. — Fonctions d'une variable complexe

Si nous avons une fonctions réelle /{x)j si elle admet n dérivées, la (n -+- 1)»*"»» restant finie, mais n'étant pas dérivable, on peut employer Isl formule Jlnie de Taylor

f(X + h) =/(x) 4- j/'ix) ^ ^/'(^) +. . .

/•(«-hD (a; 4-6/1),

Dans quel cas peut-on passer à la série infinie de Taylor? La théorie des fonctions répond à cette question (*).

Soient P(x,y) et Q(^, J^) deux fonctions réelles, déterminées, dérivables.

Il faut et il suffit :

dx "^ ày dx ~~ dy

Ou bien :

6P = o = 8Q ( ^ ~ I~î "*" !5~i • symbole du Laplacienj'

Alors P -H iQ est fonction de ^ -h iy^ fonction holo- MORPHE, ou synectique, ou régulière, ou monodrome, c'està-dire déterminée, ainsi que sa dérivée, et continue

synectique. Donc : toutes les dérivées sont synectiques,

(0 Voir Coll. Borel ( Gauthier- Villars).

Par définition, on pose

f f(z)dz=z f {Pdx^qdy)-\-i(Qdx-hPdy).

On va de A en B par un chemin quelconque.

/ /{z) dz est indépendant du chemin, c'est une fonc-

tion synectique F, sa dérivée est y. Donc : toutes les intégrales sont synectiques. Nous avons l'analogue du théorème de la moyenne

f(z)dz

< M X arcAB,

M étant supérieur au module maximum de y sur Tare.

(Si la fonction devient infinie, ou l'arc AB, vo^rplus loin l'extension de la notion d'intégrale.)

Remarquons que f{z) donne une Carte du chemin de z.

Dans une région S du plan de z = x -\- iy^ si la fonction est holomorphe, sauf en des points ou groupes de points qui n'interrompent pas la continuité de S, la fonction est dite analytique [J. Hadamard, La série de Taylor (coll. Scientia)\

f{z) est développable en série de Taylor si elle est holomorphe dans une aire finie

f{z) = 9(z — ^o) = «0 + «iC-s — Zo) -h. . . (Cauchy).

Le développement converge dans tout cercle de centre Zq où /reste holomorphe.

Si la fonction cesse d'être holomorphe en un point isolé Z| , on a le développement suivant, convergent dans un anneau de centre Zt, isolant z^^

f{z) = $(z - ^i) -h «1 ( JtÎ-^) (Laurent).

D'où la définition du pôle et du point singulier essentiel.

INTRODUCTION. l5

Tout ceci se déduit de la formule

. -, X rf(z')dz

X est intérieur au domaine (C) dans lequel f(^z) est holomorphe.

On peut dériver

Si le domaine est un cercle de rayon R, de centre O, M étant le module maximum de f sur la circonférence, on a

d'où la majorante^ pour/,

Cela s'étend au cas de/? variables.

81^/(2) est holomorphe dans tout le plan :

1° Et de module borné, c'est une constante;

2" Et telle que "^ J soit borné, c'est un polynôme de

degré /n.

Siy(2) est analytique dans tout le plan :

I® Et n'ayant comme singularité que le point infini, pôle d'ordre /w, c'est un polynôme de degré m;

2" Et n'ayant comme singularités que des pôles, même au point infini, c'est \xnQ fonction rationnelle.

Une fonction analytique qui n'a, à distance finie, que des pôles, est dite méromorphe. Elle est le quotient de deux fonctions entières, c'est-à-dire holomorphes dans tout le plan.

Soit une fonction F, holomorphe dans un domaine (C) sauf en des points isolés. En un tel point Z|, on a un

l6 INTRODUCTION.

terme — - — ; A..| s'appelle résidu

Z ■^ Zf

rF(z)rfz = 27UlV A-,

Soit F une fonction analytique n'ayant que des pôles, o une fonction syneclique.

Soit Tc un pôle de F et p une racine, on a

\] est la sommation étendue au domaine (C). Le pôle (ou

racine) multiple d'ordre k sera compté k fois.

Tout ceci est dû à Caucliy. On en déduit le théorème de

d'Alembert.

Fonctions élémentaires.

Logarithme. — Soit z = pe'?,

Ce sera déterminé si <p est Jixé, c'est-à-dire si l'on trace une coupure artificielle de o à l'infini, qu'on ne traversera pas.

Â^^ant bien défini l'argument o, on a

Exponentielle. — Soit e^ la fonction inverse de JÇjs^ on trouve e^^= e^(cosy -\- is\ny)y donc nous retombons sur les définitions élémentaires.

Puissance de z^

i p ^ o, R a une infinité de valeurs,

( a non rationnel, 4> a une infinité de valeurs.

Ayant bien fixé JÇjs^ c'est-à-dire R et ^, on a encore

Les propriétés élémentaires prennent une forme un peu plus compliquée que dans le réel.

Soit

z ne change pas par k circulations autour de o. Mais ce mouvement fera s'échanger entre elles des puissances rationnelles de z.

Ceci a donné naissance aux feuillets de Riemann.

Par exemple, z^ n'est holomorphe que si l'on trace une coupure artificielle o — oo.

De même, Ji^ et yz^ — i sont holomorphes, si l'on

trace une coupure entourant complètement -4- i et — i.

Arc tangente et arc sinus. — Intégrons

dz \ l dz dz

nous obtenons

^ ^ I dz dz \

arc tangz = — t[4i^(z — i) — -^(z ■+• i) h- ^k-ni].

On obtient des branches sj'nectiques si l'on trace, à partir de -h / et — /, des coupures qu'on ne traverse pas,

r dz

arc sm^ = / ,

On obtient des branches synectiques si l'on trace, à partir de + i et — I , des coupures qu'on ne traverse pas. On a encore

arc sin.3 = -r J^{iz ± /i — z^).

Or

{iz-^\/ ) (iz — v/ ) = — I.

D'A. îl

l8 INTRODUCTION.

On a donc, comme pour le réel,

arc tang^ = a -h Aric,

arc sin-s =

( {lk-\-\)TZ

Intégrale complexe généralisée, — Dans le domaine (G), si autour d'un point 6 on a

Soit

9 = arg.(« — ^>).

Si l'on arrive en b par un chemin L tel que

?o<?<Ti»

l'intégrale est déterminée et indépendante du chemin L.

Même théorème pour un chemin A s'étendant à l'infini, si ç finit par rester entre cpo et cp, et si

l/(^)l<r7ip (P>').

Dans les cas les plus ordinaires, la condition relative à cp n'interviendra pas (G. Jordan, Cours, t. II).

Remarque.

Si l'on veut pouvoir parler de fonctions analytiques, autres que les combinaisons des transcendantes élémentaires, il faut :

i" Ou bien, avec Weierstrass, prendre pour départ la

série ^a«^" (prolongement analytique, etc.);

2° Ou bien, avec Riemann, prendre pour départ le problème de Dirichlet (solution de 5w = o, déterminée par les valeurs de u sur un contour fermé du plan xy).