Si elles sont remplies on a la solution

(ij) <f{s;) = ^(x)-\-\oJ ^(ar,T)<Kx)û?T,

l32 CHAPITRE IV.

g ayant été défini précédemment :

X*^» ''il) • • • 1 'in,

Faisons la vérification, en portant dans (4) la valeur (i i). Il vient à vérifier

(12) 0=1 ^{y)^ dy,

T = ffiar, y)-^ /(x, y)-hlo f /(^, ') ^(-c, r) ^'•

Reportons-nous à (111), où nous remplaçons /(x, y) par

/• (^t y) [^"^ ^^^^ identique à /(y, ^)].

Nous avons donc les solutions h\{x) [qui deviendront identiques aux M/(:r)].

Or (^) donne, ^1 étant quelconque,

l Fi (^, JK) = /i (^1 r) -^ /T i (^1 y)-^'^o I g\ ipc, T)/, (t, ^) C?T

Si maintenant nous faisons

/i (^,r ) ^ /(r, ^)» /Ti (^> r ) = /r(r» ^)î

(i3) deviendra

On peut échanger :c et y, d'où

ÉQUATIONS DU TVPE ELLIPTIQUE. l33

Alors, Qi étant nul, il est immédiat que (12) est vérifié. Tel est le résumé des principaux résultats de M. Fredholm.

Disons un mot des applications.