Problème de Dirichlet, intérieur, — On a
W,-=Wo-i-7rvo;
W/ est connu, l'inconnue est v(5), v est donné par une équation de Fredholm, d'où la solution, par un potentiel de double couche, à l'intérieur du contour fermé G. Nous avons l'équation de la forme (4), avec \=i\ :
L est la longueur du contour, s un ^o\t\l fixe, <7 un point mobile, du contour. 11 faut qu'on ait D(i)^ o. Mais, si l'on avait D(i) = o, l'équalion
aurait une solution non nulle.
On peut prouver l'impossibilité de ceci, donc l'impossibilité que le point un soit un pôle Xq.
(cp est l'angle de la normale extérieure au point o- avec le rayon r qui va du point s au point (t.)
Il suffît que le contour portant la donnée ait un rayon de courbure lipschitzien pour que le problème soit aussi
l34 CHAPITRE IV.
immédiatement résoluble (T. Lalesco, Bull, des Sciences math, y 1907).
Par des représentations conformes, M. Darboux, dans son Cours (1907), a résolu le problème pour des contours présentant certaines pointes..
C'est un résultat très important.
— ) est
connu; l'inconnue ^-i^) ^^^ donnée par une équation de Fredholm, d'après la relation
\dn)rJ
cosd/ ,
La solution est un potentiel de simple couche. Même impossibilité, d'après les théorèmes classiques, que l'équation sans second membre soit résoluble. Donc ce problème extérieur (X = 1) est résoluble.
[^ est l'angle de la normale extérieure au point s avec le rayon qui va du point 5, fixe, au point a-, mobile (* ).]
L'équation est
Problème extérieur : X = i .
Problème intérieur : X = — 1 .
(^) DoDC, C0S9 et cost)/ sont deux fonctions de la forme /{Sj9) ct/(^>*)« C^'où la condition connue, pour le problême intérieur de Neumann,
—— as = o.
Mais il y a toute une discussion délicate sur la réalité et la multiplicité de la racine \, discussion qui exige la connaissance des travaux classiques sur Téquation de Laplace, en particulier de ceux de M. Poin- * caré {Circolo di Palermo, 1894; Acta mathematica, t. XX).
Nous n^avons pas à rappeler ici les différences entre les problèmes de Dirichlet pour \eplan et pour Vespace (travaux de lord Kelvin, etc.).
Nous renvoyons aux Ouvrages de M. Picard et à une Note finale de ce Livre.
3. Pour le problème de Dirichlet, extérieur, ou le problème de Neumann, intérieur, il y a une solution de Téquation sans second membre, et Ton retrouve la condition de possibilité connue. Nous ne pouvons que renvoyer aux travaux, déjà nombreux, sur ces sujets (*).
Indiquons simplement Tapplication aux équations dlflerentielles.
4. Equations différentielles linéaires, — Une équation différentielle d'ordre n peut être intégrée avec les conditions de Cauchy : on donne
ou bien encore, on peut donner n points de l'intégrale
^(a?i), y{xt)y ..., y(xn).
Dans ce cas, nous avons une équation de M, Fredholm ; on le voit facilement.
Soit
L'adjointe *!^ sera
Soit ah la fonction A/i{t)^ A^ étant Aa(^). Soit
(^) Citons : I. Frkdholm, Acta mathematica, t. XXVII. — D. Hilbert, Nachrichten zu GôUingen, 1904-1906. — E. Picard, Annales Éc. Normale, 1906. — J. Plemelj, Monatshefte fur Math, und Phys., t. XV' €t XVIII. — Erhard Sciimidt, Mathem. Annalen^ t. LXIH et LXIV. — On consultera aussi le résume du Cours de M. Picard, 1906, dans les Rendiconti del Circolo di Palermo, {190G, et la Thèse de TUniversité de Paris de M. Bryon Heywood (Gauthier-Villars, 1908). — Il faut noter que MM. Hilbert et Schmidt donnent des solutions entièrement nouvelles de Téquation de Fredholm.
l36 ClIAPITRK IV.
Nous posons
\(x, t) = (i)«--iai-f.( xyi-'ia^j^x— /) h- . . . -h ««- "" ^
Soit Q«i(^) un polj^nome en .r, de degré (ai — i). Ecrivons V équation intégrale
Ci) qn-i(cr)=y{x)-h'k f l{x, t)y{t) dt.
•il
En dérivant n fois, on a
Le terme entre crochets est V adjointe de C ; donc c'est identiquement E.
Donc (i) équivaut à (2),
et nous déterminons (*) le polynôme Q par la condition, par exemple, que y s'îmnule pour x = a^ a^j •••? ^'/z- Nous aurons encore une équation du type ([).
Note. — L'extension au cas où l'inconnue est
avec une intégrale /?-uple, est immédiate : solution niéromorphe en.\] en un pôle Xq, solution de l'équation homogène et, avec des conditions, de l'équation donnée, à second membre.
(^) Bateman, Bull, des Se. math., 1906. — M. Mason, Mathematisclic Annalenj t. LVIII. — D. Hilbeut, loc. cit. — Sur les questions de ce genre, voir les beaux travaux de M. Picard, Traité d'Analyse, t. III, 2" édition {sous presse) y par ies approximations successives.
]je type elliptique correspond aux caracléristiques imaginaireSy let^'pe hyperbolique aux caracléristiques réelles, le type parabolique aux caractéristiques confondues.
Le premier type a été étudié précédemment, pour Téqualion la plus célèbre, celle de Laplace.
Nous étudierons quelques cas hyperboliques et dirons un mot du cas parabolique. D^abord quelques remarques sur les théorèmes généraux d'exislence et sur les caractéristiques, multiplicités d'exception, relativement à ces théorèmes généraux; sur la partie finie d'une intégrale; sur la notion d^ adjointe; un problème fonctionnel, etc.
