I. — Sun LES THÉORÈMES d'eXISTENCE

Le principe de Dirichlet est là pour nous en avertir, et nous avons bien vu que les solutions des équations différentielles ou aux dérivées partielles peuvent être formées avec des conditions aux limites très variées.

Revenant au théorème de Cauchy, faisons une remarque pour le cas où les fonctions cessent d^étre holomorphes.

Le cas le plus simple est celui de Rriot et Bouquet :

■cy' =^ ax -+■ hy -f-

Si b n'est pas entier et positif, il y a une solution holomorphe à l'origine. On le voit en écrivant

l38 CHAPITRK V.

et en comparant y à \di fonction implicite z donnée par

Cl) est le minimum de \n — b\ (/i = i, 2, 3, ...). Le cas le plus général

xmy 2=z ax H- by -4- . . .

donne lieu à beaucoup de distinctions et de discussions difficiles («).

M. Goursat a étendu l'application du calcul, des limites aux équations aux dérivées partielles, alors que, précédemment, on employait l'artifice du jacobien, pour prouver le théorème de Gauchy.

D'ailleurs, le Calcul des Limites donne aussi bien de nouveaux types de théorèmes d'existence. Soit

(i) s = ap -h bq -^cz-^f.

On peut donner z seul, mais sur Ox et sur Oy* Supposons z nul sur les axes, ce qui ne change pas la forme de l'équation, et prenons d'abord

(2) s = cz\

c a pour majorante

Soit r le plus petit des deux nombres R, -p:-

Prenons pour majorante

(•) E. Picard, Traité, t. III, a» édition {sous presse).

ÉQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PAR\ROLIQUE. l39

La fonclioQ ii = —, : r satisfait à Téquation

Ox dy

Nous avons donc une solution, iiolomorphe autour de l'origine.

En posant z^=.uv^ on ramène Téquation (i) à deux équations de la forme (2).

Les théorèmes les plus généraux, dans cet ordre d'idées, sont dus à M. Goursat et à M. Riquier (*).

Remarque. — Il faut bien veiller à ce que toutes les conditions soient remplies, dans l'application du théorème de Cauchy.

Nous donnerons l'exemple suivant, dû à M'"^ de Kowa-

(esky (2). Soit

à'^z ùz ày'^ dx

Nous pouvons, sur Ox^ donner

(i) ^{x,y) =fx{x) -4-^/,(ar) -+-. . .

Telle est la solution, convergente. Iniaglnons que l'équation donnée est du premier ordre en x et donnons-nous, sur Oyj

(') Voir E. Goursat, Soc. matlt, de France, 1906. — Leçons sur les équations aux dérivées partielles, 3 vol. (Hermann). (') Thèse {Journal de C relie, t. 80).

l4o CHAPITRE V.

Ceci n^est une solution que si o vérifie certaines conditions. Soit une valeur j'o î si autour de ce point o{y) a nu rayon de convergence fini, il est impossible que (2)

converge ( croit avec n ).

Prenons (i) et faisons j? = o :

^^«-^'^ =2(ife^«-^"-^ i^^^"^^^^^^

Et, comme on a

I an I cl I ^/i I < -^4 »

w(0, y) est une fonction entière. Donc 'f (jk) doit être <?/itière. Soit donc donné

entière :

^iz/çp l'A 71 ■+• 9. 12/1-1-2/?

-h \in -h I B„ j' -h

. In ]\|

Si 1 A,i I et 1 B,, I sont moindres que 7==- 77- (nouvelle con- ' " I I " I n [2/1 R" ^

dition), (2) convergera.