Sur l'hypergéométrie

On a souvent besoin de parler îe langage géométrique, alors même que le nombre des variables est supérieur à trois. Il n'y a là, dans l'Hypergéométrie, aucun mystère pour le mathématicien.

Par exemple, on dit que, dans l'espace à n dimensions,

J\X\j iTj, . . . , Xfi ) = O

représente une sur/ace et une intégrale /i-uple un volume.

ÉQUATIONS DES TVPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. t4(

Il n'y a là qu'une langue commode qui aide rimagination et Cavorise la découverte. Il y a là la source d'analogies fécondes, maïs aussi, parfois, trompeuses. Il faut donc constamment faire suivre l'image de la construction analj> tique.

Prenons*un exemple. Soit le cône

■il découpe trois régions, Tune extérieure j qui ne contient pas l'axe Os, et deux intérieures, l'une à cote positive, l'autre à cote négative. Il en est de même pour les cônes

dans l'espace [p -+- i)-uple.

Au contraire, dans l'espace (/; 4- i)-uple, les cônes

ne découpent que deux régions (*).

Pour une surface, quel que soit /t, on sait quil faut, en certains cas, examiner si elle a un seul côté (*). Ceci ne dépend pas de n.

Faisons quelques extensions immédiates.

Soit une surface S

et une surface D

F(ari, Xi. , . ,j Xfi) = o.

Posons

Pour que S et S aient, en un point, un contact d'ordre /«, il faut et il suffit qu'en ce point W et toutes ses dérivées d'ordre 1,2, ..., /i s'annulent.

(*) J. CouLOX, Thèse (Hermann, 1902).

(^) E. PiCAUD, Traité, t. I, p. 1^4

l4'2 CHANTRE V.

D'où le plan langent ù S, soit

Ai(Xj — ^i) -h Aî(Xj — Xi)-+-. ..-\- A,(X« — Xn) = o,

D(arj, Xi, . . ., a:,,) D(w,, w,, ..., Un-i)

Les cosinus de la normale à S seront

— ^^' — li.

L'élément de surface sera

diti = yS Jj </ui du^ . . . du,i-i'

lia formule de Green subsiste.

Il n'y a rien à changer à la théorie du changement de variables dans les intégrales (*).

Mais voici une question nouvelle.

Dans l'espace à 3 dimensions, nous avons :

Variété à i dimension = ligne, » 9. dimensions = surface,

» 3 » = volume.

Avec 4 dimensions, nous avons du nouveau, savoir les variétés à 2 dimensions, qui ne sont ni lignes, ni surfaces.

M. Henri Poincaré définit leur aire de la manière suivante {^) '

Plaçons-nous dans E3 (espace 3-uple).

Nous pouvons définir le ds d'une courbe C en regardant la surface-canal, enveloppe de sphères de rayon e ayant leurs centres sur C.

L'élément de k (ABA'B'), situé entre deux sections normales PQ, P'Q', a pour mesure

A r> X A A' =doi, AB = c rfO, A A' = ds,

(*) Cours de M. Jordan et de M. Bairc.

(^) Acta matheniatica, t. XXII, p. i43.

d'où

ds =

Tdî)

Faisons de même, dans E4, pour obtenir la mesure de l'élément de Va, variété donnée par

xk=^k{ti, tt) (A- = i, 2, 3, 4)-

Fig. 17.

Fig. i«.

Les sphères ayant leur centre sur Va ont pour équation

Pour avoir Tenvcloppe, décrivons en tt et /a

2/ àoji-

Oth

Dans Ë3 nous pouvons déterminer la position du point A, sur l'enveloppe, par Tangle 6 rapporté à deux directions rectangulaires Ç, r, de la section PQ, liées à cette section; \ a pour cosinus a,, aa, a3, et Tj, p,, ^o? ,33.

Dans E4, posons, de même,

^k — ?A= oLkt CCS 6 H- ^/gt sinO,

(2) et (3) sont satisfaites par les formules (4), quel que soit 8, si l'on a

ôtf.

La droite analogue à MA. est bien la normale à k dont

les cosinus sont

Tfc—^k

En effet :

r^ La somme des carrés est un;

V àxk

Il suflit de dériver (a) en th et en 6 cX d'ajouter (3). Nous avons donc, d'après les notations précédentes, les cléments J^, Jo de la surface Ar,

-^1 — yi h

QL\ cos6 H- pi sinO,

e Ju

Ji(3tiY-+- pt^ï) (y = cos6, <j = sin6)

ou bien

Jo=^JA-(a^7 -H Pa^),

ou bien encore Jo est un déterminant :

dxk àxic dxic

a^T -+- pA<i

Or ^(-î^A — ?*) contient e eu facteur.

Comme nous prendrons e infiniment petit, nous pouvons

. . I àxi- âoi. ,

ici remplacer -3-— par --^ et écrire

Jo =

C'est une somme de quatre déterminants, dont deux sont nuls, et, comme o-^-f-y-rr: 1, il reste

Jo= e

dti âti

Formons Jj5 ; c'est un déterminant qui, d'après les rcla-

lions (5), (6), est égal à une somme de carrés de mineurs soit

dti ôti

Donc Jo est connu, et nous écrirons

L^élément d'aire de k étant z^^dti dt^d^i celui de V^

sera

^(idt\dt%.