III. — Sur les caractéristiques

D'une manière générale, ce sont les variétés exception nelles relativement au théorème d'existence de Caucby. Prenons le cas le plus simple, les équations linéaires. Equation d^ ordre n à deux variables :

dx^

dx"-^ dy

^ ne contenant que des dérivées d'ordre moindre que n Sur une courbe C, on donne

d^z dx^'

Pio,

Pou

PtOt

• » Pon-l'

Pour obtenir les dérivées d'ordre /i, écrivons

dpn-io = Pno dx-^-pn^iidy^ ..

dpn--t 1 = Pn-i 1 dx -hp„j^ti dy^

dpon-l = Pin-ldx -{-pon ^^•

l46 CHAPITRE V.

Le calcul est possible, à moins que A ne soit nul :

Ao A,

= (— i)«[AoX« — AiX«-t— ...

En chaque point nous avons n courbes, correspondant aux racines X|, Xj, . . ., X„. Ce sont les caractéristiques. Or, on vérifie facilement que Topération

reproduit le premier membre de l'équation (i), en y ajoutant des termes avec des dérivées d\)rdre moindre que n. D'où, pour(i), la forme canoniquCy permettant les approximations successives,

[Thèse de M. Dëlassus (Ann. Ec, Norm,, iSgS.)] Pour la théorie générale des caractéristiques y nous renvoyons à M. Goursat.

Équation d'ordre 2, d /i variables. — Prenons, pour simplifier l'exposition, /2 = 3; soit l'équation

Pik =

âxi dxic

=pu;

Pikh =

àxi dxk àxfi '

Les données sont portées par la surface frontière S :

dxi dx^

ÉQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. l47

On donne, sur S, les valeurs de z. Sur S, z(Xi, x^^ x^) devient z{x^^ x^)^ fonction connue des deux variables

Chaque fois qu*il sera nécessaire de spécifier nettement qu'une fonction de trois variables se réduit, sur une surface, à une nouvelle fonction de deux variables, nous

l'indiquerons par ce trait : z*

Dans (i), /ne contient que des dérivées de z d'ordre i, au plus.

Pi dépend de trois variables. Cherchons sa valeur pi sur S.

Nous n'avons qu'à écrire

Donc si, sur S, outre -2, on donne /^s, on connaîtra p^ et/>5, valeurs sur S de p^ et/?2«

Montrons qu'on connaîtra toutes les dérivées de tout ordre :

•f— = fonction connue = pki-^ P/Paj,

(II) { rf^

d'où

àxi

Il suffira de connaître 7733. Or, l'équation (i) donne

alors

(2) Hjïn-+-K = o,

ayant posé

l48 CHAPITRE V.

\ indiquant que i et k prennent seulement les valeurs I, 2.

. Si Ton a H = o, on ne peut calculer ni p.^^^ ni /?333j etc. C'est Téquation des surfaces caractéristiques obtenue par J. Beudon (*).