FU)-.G

(J. Hadamaud, Propagation des ondes).

Ces formules permettent de passer de l'intégrale n-uple dans un domaine à une intégrale (/i — i)-uple au contour.

Les caractéristiques étant réelles , il s'introduit dans l'intégrale au contour une dérivée suivant la conormale, direction liée à la normale (bu à la tangente). Et ceci donne des résultats intuitifs permettant d'éviter des calculs et de voir immédiatement les frontières exceptionnelles relativement au théorème de Cauchy.

Nous établirons^ la formule dans chaque cas, renvoyant au Livre de M. Hadamard pour la théorie générale (* ). -

(*) La conormale a été définie par l'auteur dans son étude de l'équation des ondes {Comptes rendus, n février 1901). M. Coulon a fait Textension au cas général {Comptes rendus, juillet i9oi).M. Hadamard a montré que la direction conormale est bicaractéristique» Voir encore iM. Burgatti, qui, dans un Mémoire cité plus loin, définit de la même manière, la direction cotangente {Ace» dei Lincei^ 1906).

l50 CHAPITRE V.

V. — Sur la partie finie d'une intégrale infinie. 1. Intégrale simple, — Soit

F(a)= / f(x,7.)dx.

Si A et B sont des fonctions de a continues, ainsi que leurs dérivées premières, et si f{xy a) admet une dérivée, par rapport à a, continue, il est bien connu qu'on a

Passons au cas des intégrales généralisées. Soit

Nous supposons que f{x^ a) admet des dérivées premières j^j ~ déterminées el continues (*).

V est une fonction bien déterminée et continue. On peut donc faire le changement de variables

a — a7 = a(i —y), et V devient V< :

Vi(a)= r/(aj^,a)^/i-t.

Considérons d'ailleurs l'intégrale

Wi(a)=y*~[/(ar,«)v/«]^^^-

D'après les hypothèses faites, les intégrales Vi et W| convergent uniformément (^), d'où

Wt =

doL

(*) Voir y sur ces questions, le Mémoire de M. de la Vallée-Poussin dans les Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 189a.

EQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. l5f

Mais on peut écrire

Poson

On a

Celte limite existe certainement, comme on le verrait en faisant dans W| le changement

Donc enfin

Mais en dérivant J/,, intégrale ci-dessus, où h est ^ni pour l'instant, nous pouvons employer la formule (i) :

Cette expression (4) renferme deux termes qui croissent indéfiniment lorsque h tend vers zéro, mais dont la somme est finie, quelque petit que soit A. Nous le savons d'avance par le changement de variables; vérifions-le :

^« ^oL — x ^^ /a — a: ^^\/

Alors

La première intégrale serai finie, d'après nos hypothèsL;^.

l'jX CHAPITRE V.

La deuxième intégrale donne

Ici encore l'intégrale g%1 finie. Donc

11 est clair que les deux termes en — n? devenant chacun

infini pour A =z o, o/i« ££/ie somme finie, quelque petit

que soit A, puisque la somme contient en facteur y/A.

Cette forme nouvelle s'est montrée indispensable dans l'étude de l'équation des ondes.

Même notion de partie finie avec l'intégrale multiple.

(0 i =j f J?(^yy^^)d'z,

(•>) i-i-Ai = r r r(9-f-Ao)dfu.

N w-f-Aw

iNous cherchons r=lim-rT*

Pour cela, amenons (i) et (2) à avoir même domaine en faisant correspondre à tout point (x, y, z) de (W-f-AW) un point (X, Y, Z) de W par les formules

x = X-hl

iî = Z H- Ç,

a^^ec la condition que la transformation vaille pour passer d'une frontière à l'autre. $, tj, Ç sont des fonctions infiniment petites assujetties à cette seule condition.

Alors