XX X

Si la série converge dans un intervalle fini o — 6, inéine

très petit, elle converge dans l'intervalle o — ^^ ~i finissant par être moindre que b.

Nous avons un cas, très général, de convergence. Si, dans l'intervalle o — 6, on a

(C) \t.(x)\<:Kx^ (K>o, iJi>o),

(') Cette notion a été introduite simultanément par M. Hadamard {Congrès de Math,, 1904) et par l'auteur, dans sa Thèse {Journ, de Math., i9o4)>

ÉQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. l55

il y a convergence uniforme, car on aura

KaV-

Si la dérivée tc'(x) est lipschitzienne,

la série dérivée est aussi uniformément convergente dans l'intervalle o — a :

On a, de suite, des majorantes.

Remarquons que (C) entraîne (C) avec [a= i, d'où

|o(x)|<K.(i+±-^...) = ^, I,'(x)|<K..(±^-J,^...)=Klf.

(E. GouRSAT, Ann. de la Fac, des Se. de Toulouse, 2^ série, t. VI).