I. — La méthode de Riemanjv
Soit une équation linéaire du second ordre, à deux variables; cherchons, avec Rieinann, la solution effective du problème de Cauchy : z et ses dérivées premières sont données sur une courbe jSy (ce qui ne fait que deux données).
Dans quel cas une seule donnée suffit-elle?
Soient
. d^z dz dz
axoy ox ày
et Tadjointe
àx dy
-}- cw = o ;
5 et w étant des solutions, on a, pour un contour fermé Q-,
J' M t/x — N fl^ip = o.
Prenons le contour formé par les parallèles aux axes Ax', k.y et par l'arc BG, découpé sur la courbe j3y, et étudions cette intégrale.
Fig. 19.
Avec une équation en r; -^-r? la cononnale est la
symétrique de la normale. Donc ici la conormale devient symétrique de la tangente par rapport à l'axe des x :
dx 'M
dx ds
dy dy dN ~"~ds'
s étant le contour Û, ou bien
dN
d dx ôx ds
d dy dy ds
L'intégrale suivant BC donne
r^ ^ I ^ i r^ / du dz\ ,
= / auzdy — buzax-\ — 1 l^-rrr — ^ -rrr ) «5. X ""Jb V dN dN)
dz
Supposons donc que z et -^ sont donnés sur BG.
Sur les parallèles aux axes^ nous avons les intégrales sui-
EQUATIOTS'S DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIOiE. 1^7
vantes, après une immédiate transformation :
/ v5j^ — buzj dx— ^[{uz)u—{uz)x] =^ J^,
Si l'on peut déterminer m, annulant (2) et tel que -r— — bu = o sur AB, pourj^=^Oï
du -T-rr^
aw = o *ur AL, . pour x = Xn,
ày
on voit que (w^)a est connu.
Donc z est connu au point A(xq^ yo)^ en fonction des
valeurs de 5 et -j^ sur l'arc BC.
dïH
[^'emploi de la conormale rend intuitif ce théorème :
Si la courbe BC se compose de deux parallèles aux axes, il suffit de donner sur BC la valeur de z, car celle
de -7T7 en résulte immédiatement ,
Ainsi, le problème de Riemann est ramené à celui-ci :
Trouver une intégrale u{xq^ y^] ^^ x). d^ V adjointe (2), connaissant ses valeurs :
Ç bdx
c^'» sur AB,
f '^ày
g*/yo sur AG,
M = I au point A,
et l'on a alors
' {uz)u-\-(iiz)c ,
5a= Ji.
Admettons donc, pour l'instant, qu'il existe tiné fonction de Riemann. Nous avons {voir G. Darboux, Théorie
l58 CHAPITRE V.
des surfaces, t. II)
5A= Jl,
Ji = / auzdy — buz dx -\ — 1
dz\
Supposons que le contour BG se compose de deux parallèles aux axes, BD et DG.
Faisons sur ces droites les mêmes intégrations que sur ÂB et GA; il vient
Ji =
(uz)c—{uz)ii
(uz)it-'(uz)c
