IV. — Équations différentielles
Théorèmes d'existence.
Soit une fonction holomorphe, développée en série, M le module maximum, Ti, r2, ... des nombres moindres que les rayons de convergence associés; G|, G2 et leurs combinaisons sont des majorantes
1 «Pî "^ n
Voici, alors, le principe du Calcul des Limites de Caiichj.
^^*^ ;y7 ^fi^'>y) analytique.
dx
Écrivons
dz^ M
s'il y a une solution z, holomorphe, il existe une solution y, holomorphe, a fortiori, autour de l'origine.
Dans le pian de x^ on aura à prendre le plus petit des deux cercles
a, p = a\i -- e îMa^^
pour un système de n équations du premier ordre,
p = a\i — g-m-i-DMrtj,
La méthode des approximations successives de M. Picard donne, au lieu de p,
(E. Picard, Traité d'Analyse, t. II et III).
Le calcul des limites et les approximations successives s'appliquent aussi aux fonctions implicites (E. Fouet, Leçons, et M. Goursat, BulL Soc, math,, igoS).
Rappelons la méthode fondamentale de Cauchy-Lipschitz, où Ton regarde la (lifFérentielle comme une diffé^ rence ; IsL méthode d'approximations de M. de la Vallée- Poussin ( Cours d'Analyse) ; la démonstration de M. Féjer, qui ramène immédiatement aux quadratures {Comptes rendus, lo décembre 1906).
Lorsque f^x^y) satisfait à la condition de Lipschitz, bien plus large que la condition d'analycité
on peut affirmer V unicité de la solution.
