f- — ) dx
(^o,ro)A
Si maintenant nous posions
^z -h -T- =^ o sur DC, ox
dz
a-s-4--T— =o sur BD, dy
au point D(a?i, yi),
ce qui reviendrait à regarder z comme l'adjointe de u (au lieu de u comme adjointe de z), nous aurions
ou, pour préciser.
ÉQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. iSf)
Donc nous pouvons échanger u el ^, à condîûon d'échanger les rôles de ar, y et x©, y^ :
u(a7o, J^oî ^t y) est solution de Tadjointe;
u(x, y\ Xq, yo) est solution de la primitive équation.
La /onction de Riemann (*), sous ce rapport, est analogue à la fonction de Green.
Nous le vérifions de suite sur un exemple. L'équation, identique à son adjointe
s = oiz (a = const.), admet la solution
dans laquelle
t = {x — xo) (y -- yo).
La symétrie est évidente.
Si nous obtenons une fonction de Riemann, continue, nous prouverons aisément: i" que la solution vérifie l'équation; 2^ que, si Ton s'approche de la frontière portant les données^ il J a continuité entre la solution et la donnée. Nous aurons fait la synthèse de la solution.
Nous parvenons à ce but par les approximations successives de M. Picard.
IL — Les approximations successives nE M. Picard.
Nous posons d'abord le problème de trouver l'intégrale d'une équation linéaire hyperbolique étant données ses valeurs sur des parallèles aux axes, PQ, PR. Nous com-
(*) Voir, sur ces questions : Hirmann, Œuvres, cl IIikmann-Werkr, Partielle DiJ/erentialgleichungen. — P. du Bois-Kkymond, Journal de Crelle, t. lOi. — G. Darboux, Leçons, t. II. (Nous suivons son exposition.)
dz
valeur donnée de -7- sur la courbe, if{y) la valeur donnée
1 àz de — •
Posons
F(a7)= i ^{x)dx et G(y) = f ^(y)dy.
La fonction F(^) -|- G(y) esl une première partie de la solution. C'est une fonction qui, ainsi que ses premières dérivées, prend les valeurs données sur RQ. Nous avons alors à trouver une fonction nulle sur RQ. Il suffit, pour cela, d'écrire le même système d'équations, en faisant les quadratures, non plus dans les rectangles p,- mais dans les triangles correspondants, formés par RQ et les parallèles aux axes issues de ($, 7^).
Pour prouver la convergence absolue et uniforme de la série de fonctions obtenue, il suffit de majorer de la manière suivante :
On remplace la fonction par une limite supérieure de son module et Ton augmente Taire de quadrature en remplaçant le triangle de sommet {\^r{) par le rectangle p,- de même sommet.
On passe alors à l'équation
s=ap-^bq-i-cz-\- /(a?, y)
(Note de M. Picard dans le Tome IV des Leçons de M. Darboux). Il est extrêmement intéressant de noter que des difficultés plus grandes se présentent pour Téquation non linéaire.
Pour le cas précédent, la méthode primitive de M. Picard {Journ. de Math, y 1890), méthode directe, conduisait à prendre des domaines assez petits.
On restait dans un rectangle de base a, de hauteur ^ et l'on avait
dx
dzi
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Il faJUît ju'>ir
Le recuogle de^^iil ètw^, Jom\ ^xx^p y\^^\\\ C'est ce qui arrixe pour IVquAhoi^
Nous avons la chaîne
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l64 CHAPITRE V.
M. Picard passe ensuite au cas où Ton donne z :
f® Sur Taxe O^r; 2® sur la bissectrice y=z x.
Par un changement de variables, on passe au cas où z
est donné : i** sur Taxe Ox\ 2° sur une courbe située dans
le premier quadrant.
