Soit A: {x^,y^,z„), s

Cherchons une fonction V = f (6). On a

V.,.„4£.y/(£)--.], V est bien nulle sur le cône A, cjui a pour équation

Soit r = e Téquation du cylindre vertical F, de rayon très petit. La formule (G) donne

(W) (S-hT)

Diaprés un raisonnement constant, on peut faire évanouir e et celte intégrale donnera donc zéro.

Il reste l'intégrale

r- dui = — ----—----—---——: r da dz.

1 est indépendant de r = £. Faisons tendre e vers zéro et nous avons

/^"^ ^ /*^* — . da I u{xo,yo, z) dz.

Posons

Nous avons

OZq

ÉQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. iy3

3. Si la surface S n^est coupée qu'en un point par tout cône caractéristique ayant son sommet sur 2), on vérifie bien : i" que A(w) = o; 2" que u et ses dérivées prennent les valeurs données à la frontière (Synthèse, faite par l'auteur). M. Hadamard a étudié Téquation analogue où les coefficients des dérivées secondes ne sont plus constants. MM. Tedone et Coulon ont fait diverses extensions très importantes de la méthode de M. Volterra (*). Celui-ci avait été précédé, à un point de vue différent, par Poisson, Kirchhof, Beltrami.

La direction conormale, nous l'avons dit, donne immédiatement celles des surfaces S sur lesquelles la donnée de u est seule nécessaire et suffisante. L'emploi des partie^finie permet d'intégrer l'équation plus générale, où le second membre contient des dérivées premières. C'est une nouvelle application des approximations successives.