V. — Extension de la méthode de Riemann a des

ÉQUATIONS d'ordre QUELCONQUE, A CARACTÉRISTIQUES RÉELLES.

M. Holmgren (*) a fait une très belle application de la méthode de Riemann. Soit une équation du troisième

Fig. 27.

ordre dont les trois caractéristiques sont réelles et ramenées, par un changement de variables, à être, à l'origine

dx = 0, dy = o, dy =z a{x, y) dx

\dx dy I dx ày

bwpw-^- ào2Po2

bioPio Ciopio -f- CoiPoi ■+- dz

(*) Arkiv for Matematik, Stockholm, 1904.

ÉQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. IjS

L'adjointe est

) o>j7* dy Ox ôy^ âx^ âx dy

-+----r6otM — T-^io w— 3— Coi w-haa = o.

cif^« dx dy

(3) mF(z) — ^G(a)=— - -f- — -h -— ~,

dx dy dx dy

dx dy

Hj = — h 620", Kj = — -T-aa-+- 6oîM,

(dz dz\ (d du\ ,

\ dar dy / \dy dx ]

Soit une courbe rencontrée en un seul point par chaque caractéristique OA, OB, OC^. Pour tout contour fermé, on a

d'après (3), z satisfaisant à (i) et w à (2). Le contour OCAO donne :

Le contour OBCO donne :

(4) r Md[x-hPo-PA-H r =0

(5) f —^dx-\- r = o.

Si Von peut avoir M nul sur OA, N nul sur OB et^t les intégrales suivant OC et CO se détruisent^ (4) et (5) donnent :

Si, sur AB, sont donnés z et ses dérivés d'ordre i et 2, Po est connu.

Or ceci nous donne une équation du premier ordre

^ -.- «(370, JKO) ^ - V(^0, W = Po,

Z étant connu sur BA.

Le problème sera résolu. Etudions ceci :