I. Ha = o pour J7 = o^o

Ceci donne u{X(i^y) par une quadrature.

II. H4 = o pour X = a?o, équation différentielle linéaire d'ordre i en -r — •

OXq

Donc nous pouvons annuler M. De même pour N.

III. Il nous faut étudier l'intégrale u de (2), avec ces données imposées :

u et -T — sur OB,

OXq

U et -7 — sur OA.

ày^

Lemme de m. Holmgren. — Avec ces données, il existe une intégrale continue ainsi que ses dérivées premières dans l^ angle AOB; les dérivées secondes seront discontinues sur la caractéristique OC.

Prenons le cas simple

V est connu sur Ox^ OG est caractéristique pour Téqua-

d dx

^"ày)

âx ày ~~

dx ày

àv ày ~"

tion (y). Donc, dans la région COB, nous avons une solution (^4 de (y) ; ç est aussi connu sur Oy; donc, dans la région AOG, nous avons une solution ^2 de (y)-

Sur OG, Vi = const. et V2 = const.

En effet, soit

<c— = T h a T- ( den vee en x, sur OG ) ;

ox dx dy

on a

Donc V, solution de (y)) égale à i^4 dans une région, à ^2 dans l'autre, eut discontinu* Intégrons alors (jâ)

U= I f V(^yri)didr,-h(f(x)-^^ijr).

f et J^ sont déterminés par les données; û, j-» t- sont continus, mais = {^ (Xy y) est discontinu.

C'est le lemme de M. Holnigren.

Pour le cas général, on mettrait un deuxième membre

/(^,j-), dans (a) et (y).

Puis on ferait des approximations successives. Nous admettons donc que (2) soit intégré.

IV. Il reste à étudier les intégrales suivant OG qui a pour équation dy = a dx.

Dans (M-^-t-) les dérivées secondes disparaissent.

Donc cette partie de l'intégrale totale est nulle. N contient le terme

d /du ^"\ ^ /^"\.

âx\dx dy) dx\dx/*

or -r- est continu sur OG. Donc, cette partie, aussi, est

nulle.

Le problème est achevé, sauf que la (juestion A^ approximations, dans le cas général, est très délicate et qu'il faudra constamment, ou bien se placer dans le domaine analytique, ou faire, sur toutes les dérivées des fonctions données, des hypothèses voisines de celle d'analjticité.

Remarque.

M. Burgatti et M. E.-E. Levi (^) passent ensuite au cas général : équations à deux variables, d'ordre n^ les n caractéristiques étant réelles et distinctes.

Il faut remarquer que M. Oelassus (*) avait résolu le problème de Gauchy, les caractéristiques réelles se réduisant à une ou deux distinctes, pour l'équation à deux variables, d'ordre n.

De nombreux travaux devraient encore être mentionnés, en particulier ceux de MM. Le Roux (*), Bianchi (*), Nicoletti (s).

Nous ne pouvions donner ici que des aperçus (^).