Intégrer

xy^p -i- x^y q = ^ ( x^ H- ^* ).

Dans quel cas les caractéristiques sont-elles lignes asymptotiques?

Trouver, dans ce cas, les surfaces coupant orthogonalement les surfaces intégrales.

25. On considère une sphère de rayon constant R dont le centre fx décrit une hélice S tracée sur un cylindre de rayon r.

On demande de déterminer Tarête de rebroussement de la surface enveloppe de cette sphère. On montrera qu'elle se compose de deux courbes distinctes S, S' jouissant des propriétés suivantes :

1° La sphère mobile a constamment un contact du second ordre avec les courbes S et S';

2® Les tangentes aux courbes S, S' aux points M et M' qui correspondent à un point [jl de S sont perpendiculaires à la tangente en |ji à S, et, respectivement aussi, aux droites M^, M(,;

3" La sphère de rayon R dont le centre décrit Tune ou l'autre des courbes S, S' a un contact du second ordre avec la courbe.

Cas particulier où le rayon de la sphère mobile est celui de la sphère osculatrice à l'hélice.

26. Une surface rapportée à trois axes rectangulaires est représentée par l'équation (x^ -{- y^ -\- z'^ — a^)^= Sa-^xy; on demande :

I** De trouver les deux systèmes de lignes de courbure;

a® Pour un point arbitraire de la surface, de calculer les coordonnées des centres et les rayons de courbure principaux, qui correspondent à chacune des deux lignes de courbure passant par ce point;

3" Si le point donné décrit une ligne de courbure, de démontrer que le centre de courbure correspondant est fixe;

4** De déterminer le lieu de tous ces centres de courbure principaux. •

27. On demande de calculer la valeur de l'intégrale curviligne

X dy — y dx

x-^ P7)''-4-(Y^H-Sjk)*

prise, dans le sens positif, le long d'un contour fermé G comprenant l'origine à son intérieur; a, p, y, 8 sont quatre constantes, et Ton a

ao — Py 7^ ^* 28. Calculer l'intégrale double

/ / ^^y^ v^i — a;3 — yi dx dy^

étendue à la région du plan définie par les inégalités

29. Sur une circonférence de rayon égal à n tracée dans le plan z et ayant l'origine comme centre, on prend nP points situés aux sommets d'un polygone régulier de nP côtés; l'un des sommets se trouve à l'intersection de la circonférence avec la partie positive de Taxe réel O^.

Former une fonction univoque et holomorphe admettant pour zéros tous les points ainsi construits pour les diverses valeurs entières de /i, de /i = i à /i = 00.