Soit une surface S

^ dz ^^

^ ~^ àx^ dy

Exprimer x^ y^ 5, /?, q^ en fonction de deux paramètres a, p, de façon à vérifier les équations

dz — p dx — q dy = 0,

z^px — qy = a,

u est donné.

Si -TT = o, et dans ce cas seulement, la surface est une

courbe.

Former, en a et p, l'équation différentielle des asymptotiques.

Lorsque u = AB + aB| -h B2, A dépend de a seul ; B, B| , B2 dépendent de p seul (les fonctions B sont données et A est arbitraire)^ la surface S vérifie une équation linéaire

P, Q, R, sont fonctions de a?, y, z.

Quelles sont Ifes caractéristiques de cette équation?

ÉNONCÉS DE PROBLÈMES. IqS

31. Soient O^, Oy, 0-3 trois axes rectangulaires et une surface S dont le plan tangent en un point M coupe Ox en P et Oy en Q.

Trouver les surfaces S telles que les triangles OMP, OMQ aient même aire.

Soit Y une caractéristique de l'une des équations obtenues, autre que l'équation de ceilains cônes; on prend deux surfaces quelconques, Sq et S», coupées chacune en un seul point par une courbe y, et l'on prend un cylindre de courbes y, découpant des aires correspondantes (j© sur So et a-| sur S,, ce qui détermine une surface fermée. Calculer l'intégrale, étendue à celte surface,

' -S.f(cr * ^) *.

A étant la distance d'un point à Oj7, B étant la distance d'un point à Oy, a et ^ les angles de ces axes avec la normale à la surface.