On considère l'équation aux différentielles totales

où A, B, C, A4, B|, C, sont des fonctions des deux variables indépendantes x et y.

On demande de former les conditions auxquelles doivent

igô CHAPITRE YI.

satisfaire les fonctions A, B, C, A|, B|, C|, pour que l'équation soit complètement intégrable.

Ces conditions étant supposées satisfaites, expliquer comment on achèvera l'intégration de cette équation, si l'on connaît une ou plusieurs intégrales particulières.

Exemple. — Etant donnée une famille de courbes F, représentées dans un système d'axes rectangulaires, par les deux équations

(T) x^ — 22*= a, 5/3 — ox^z^-\- mx^z-\- ^z^=b^

si a et 6 sont des paramètres arbitraires et m un coefficient constant, on demande de déterminer ce coefficient m de façon que ces courbes F soient les trajectoires orthogonales d'une famille de surfaces, et de trouver cette famille de surfaces.

39. Application de la fonction de Green. — i° Trouver, sous forme d'intégrale double (la fonction de Green figurant sous le signe), la solution, nulle sur le contour, de l'équation

2** Démontrer que, un point (^, b) s'approchant du contour C, la solution u(a, b) tend vers la valeur donnée zéro. (C'est le seul point délicat.)

40. Soit une courbe gauche C, dont les coordonnées ^, y, z sont des fonctions données de l'arc s.

En chaque point l'on considère une sphère de rayon donné, r(5), ayant son centre sur C.

Trouver l'équation différentielle des lignes de courbure de V enveloppe de ces sphères.

Puis on prendra les cas suivants :

I® La courbe C est plane;

1^ r est constant;

ÉNONCES DE PROBLEMES. 197

3** /• est proportionnel à z.

{Voir le paragraphe « Hjpergéométrie » de ce Livre; s'inspirer de ce qui est fait là. En parliculier l'enveloppe sera définie par s et l'angle 6.)