Soit la surface

Trouver les trajectoires orthogonales des générât riees? Former Téquation des asymptotiques.

Intégrer lorsqu'on a

^ = a cos u -\- b sïnu

(a et b sont constants).

Dans ce cas, peut-on déterminer f de sorte que les asjmptotiques aient pour projection sur le plan xOy des eercles passant par l'origine?

46. On donne la partie réelle P(^, y) d'une fonction f{z). Montrer que f{z) s'obtient à l'aide de la fonction ^, si l'on a posé

Zq étant conjugué de z. (R. Alezais, Noui^. Ann,, 1907.)

47. Soit une surface telle que, sur une ligne asymptoligue, on ait

S étant Tare d'asjmptotique, r la distance d^un point de Tasymptotique à un point Jixe^ G une constante.

Celte surface est de réiolutiony ou bien elle est un cône. (G. TziTzÉicA, T. Lalesco, jVouv. Ann., 1907.)

48. Lignes asvmptotiques de la surface lieu du milieu des cordes de la courbe

(J. DE Vries, Nouv, Ann,, 1907.)

49. Note. — I. Les diamètres conjugués de V Indicatrice de Diipin fournissent les lignes conjuguées sur une surface. Uune de ces lignes a pour tangente l'intersection de deux plans tangents dont les points de contact sont infiniment voisins sur Vautre. Soient rf et 8 deux direcliokns conjuguées; la même voie qui a donné

donne

^cd^x (p. 3),

^cd{^x),

d'où

\>duùu-\- D'{du op -h dv 8m) -h D' dv op = o.

Si les lignes w=const., i^ = const. sont conjuguées, on a

{Voir le théorème de M. Koenigs, G. Darboux, Leçons y t. l, p. 1 12.)

IL Surface minima. — La somme des rayons de courbure principaux est nulle, l'indicatrice est partout une hyperbole équilatère

{l-\- q^)r --ipqs -h(i-hp^)t = o.

Nous rappelons que, la surface étant rapportée à son plan

tang^enl,

l'indicatrice est

50. Soient deux fonctions X(a:) et V(i^). Les déterminer de façon que les courbes

vx == const., = const.

I — vx

forment un réseau conjugué sur la surface E, enveloppe de

Z -h i'J^ = (P — iF)( V— X') — 2(V -h X).

Lignes asymptotiques?

ôl. Prendre un chemin d'intégration L tel que

soit une solution de l'équation différentielle