Soit a un paramètre et soit une famille de courbes

on suppose que, pour chaque valeur de a, les équations (i),

(2), (3)oQt une solution commune (Ç, yj);

Démontrer que, dans ces conditions :

I® Ou bien le point (i, r^) est Jixe;

2® Ou bien la courbe (i) a, en ce point, un contact du second ordre avec son enveloppe.

Trouver la condition telle que la seconde circonstance ait lieu.

Même problème avec une famille de surfaces :

les équations (i), (2), (3) ayant une solution commune : une courbe.

Notre Bibliographie est très incomplète.

Réparons ici quelques omissions :

(Nous indiquons surtout des Mémoires trop récents pour avoir trouvé place dans V E ncyclopédie m,athématique en cours de publication.)

I® IifTROoucTiON (p. 19). — M. LiNDELÔF {Joumal dc M. Jordan, 1894) a complété, sur un point, la théorie de M. Picard. Soit un système d^équations différentielles

dx * ' ' \j =1, 2, ...,/i/

|F/.(a:,^,) - FA(a:, Y,)|<2k.-|^,— Y,|.

. (Condition Cauchy-Lipschitz.)

202 CHAPITRE YI.

On obtient un nombre p", à comparer à p',

o'=gC(i + ^); K = Ki-f-K, + ...-f-K„.

(Voir E. CoTTON, Acta mathematica, t. XXXI.)

2° Chapitre IV. — Pour Téquation de Fredholm nous devons encore citer les travaux de MM. Goursat, Lebesguk, RiESz, Bateman, de M"** Lebeueff, de MM. Kellogg, Weyl,Hellinger, Hilb, Lauricella, AjvnRAE, BoGGio, etc., et une Note des Comptes rendus, de M. Sanielevici (juin 1908), conclusion des travaux de MM. H. Weber, Schwartz, Poincaré, Picard, sur la vibration des membranes.

Pour le problème deDirichlet el les questions connexes, nous devons citer :

C. Neumann, Procédé de la moyenne arithmétique {Untersuchungen ûber das Potential, Leipzig, 1877).

H. PoiNCARÉ, Méthode du balayage et travaux sur la Méthode de Neumann {Le Potentiel, 1899).

A. Schwartz, Procédé alterné. — Représentation conforme ÇWerke, 1890).

D. Hilbert, Méthode des variations.

Travaux de MM. Picard, Rorn, Stecklof, Liapoujvof, Lindeberg, Robin, Ernst Neumann, Zaremba, Le Roy,

KiRCHHOF, LeBESGUE, BePPO-LeVI, FuBlNI, CtC.

Voir les livres de MM. Harnack, Picard, Pockels, BôcHER, RiEMANN, F. Klein, Rorn, où Ton trouvera des indications sur les travaux anciens de Laplace, Gauss, Green, W. Thomson, Lamé, etc.

Citons aussi les travaux, sur les fonctions polj'harmoniques, de MM. Levi-Civita, Almansi, Lauricella, Boggio {Ace. dei Lincei, di Torino; R. Ist. Veneto; Annali di Mat.). — Sur les problèmes de Vélasticité, résolus par les équations intégrales, nous devons citer : I. Fredholm

{ArkiO for Mat,, igoS) et G. Lauricella (/?. Ace, dei Lincei, 1906 et 1907).

Faisons enfin une observation, relativement aux problèmes de Dirichlet et Neumann(p. i34 et i35).

Pour le Problème de Dirichlet, extérieur, dans le plan, il j a une condition de possibilité. — Dans l'espace, il n'y a pas de condition, car l'on n'a qu'à ajouter une simple couche h la double couche, — Ceci se reflète parfaitement dans l'étude de l'Équation de Fredholm correspondante.

Voir, sur ces questions : H. Poincaré, Le Potentiel newtonien (p. 290, et 809). — J. Plemelj, Mémoires cités. — G. Lauricella, Annali di Matematica et Nuovo Cimento, 1907. M. Plemelj rattache à l'équation de Fredholm les fonctions fondamentales (H. Poijvcaré, p. 353).

3° Chapitre V. — Sur l'équation du type hyperbolique à n variables, M. Hadamard vient de publier un important Mémoire (Acta mathematica, t. XXXI).

Je dois signaler une omission qui me concerne, due sans doute à ce que ce Mémoire a été écrit longtemps avant d'être imprimé : page 36o, M. Hadamard signale comme très difficile, et n'ayant pas été fait encore, certain calcul de dérivées secondes que j'ai donné, de façon inattaquable, dans le Journal de M, Jordan, en 1906.

Relativement aux travaux de M. Goursat parles approximations successives, sur les équations du type hyperbolique à deux variables, je dois signaler que certains d'entre eux ont été repris par M. E. Picard {Comptes rendus, 1907). M. Picard résout une équation intégrale nouvelle (du type Volterra), Puis, M. A. Myller a encore repris la question (art. cité et Comptes rendus, juillet 1908). Pour les équations du type parabolique, voir : Fourier, Œuvres, 2 vol.; et Poincaré, Propagation de la chaleur, i vol.

Pour les problèmes de la Physique :

P. DuHEM, Leçons j 2 vol. (Hermann, 1891).

Nous renvoyons enfin aux excellents articles de VEncyclopédie (t. II), de //. Burkhardt et F, Meyer, de A. Sommerfeld, de S, Pincherle.