A LA SOMMATION BE PLUSIEURS SUITES
Soient t{XpZ) ,V {x,z) deux foDCtîons données des variables ar,;, et n un nombre entier quelconque. Supposons d'ailleurs qu*aprës avoir développé le produit
à l'aide de la formule' dit biooam» on différenaie n fi>ts, afancon des termes du développement, savoir : le premier terme n fois par rapport à x, le second terme n — i fois par rapport k as et tiue fois par rapport à « » le troirième terme
n — 2 fois par rapport à as et éettt fois par rapport à z , etc » eafkl le demf er
terme a fois par rapport à z . Alors , e% faisant , pour abréger ,
(i) f{x,z)=zu, {{z,x) = v, Y{x,z)=w ,
on obtiendra la suite
d*{u'xD) a d'^u'-'vw) n(n-i) rf'(a"«p'w) rf"(»"tr)
dont on ne connaît pas la somme. Toutefois le calcul des résidus fournit le moyen de déterminer Csicilement cette somme » dans lo cas ofa Ton suppose après les différenciationi z=x. C'est ce que nous allons expliquer en peu de mots.
Soit ê une valeur commune attribuée aux variables x,z, et S la valeur cor' respondante de la somme des termes qui composent la suite (9^) ; ensorte qu'on ait
f31 c</'(tf°tp) n rf"(a'-'pio) n(n-i) rf"(tf»"p»p) , rf»(»»ir)
dans le cas où l'on suppose , après les différenciations z=x=8. La formule (28) de la page (16) entraînera l'équation
».d^...m.i^.3...(n-m) dx'^dz''"^ ~ ^^ {( («-*)-^')) (( (*-«)"-^')) ''
Juif laquelle les dsDzsigaw £ sont relatifii , l'im à la varUMe Xt l'autreàlavarùlle s; e» par conséquent la fomvfe (5) p«an<a4lrenBipUG4e par la foÎTiate
+ llr.
((«-■»(((«)"■■))) Comme on a d'aiUeurs
'' ■ ""'' I f *' -, ' «•*'fw)-*--»-*i(j>,)-*.
w tirera de la fonnale (4)
Vutons maintenant , penr plat de commodité ,
Si , iuu l'ipitutua
«C'-')-»t«-*J ('-')fC'=.0-(*-'Jff'i5«) •
en considère z comme seule variable , cette exprewion représentera une fonctioa diei, qui deviendra infinie pour s=(b, et dont le vésîdu, relatifàla valeur as de k Tiriable t , sera-
l,) [f(.,.)]--rfa.)
Or, Si, aprës avoir divisé ce r^idu par t — m, on désigne par «[:è,s) la difi^- NDce entre l'expreiaîon (7) «t le «{uotlent obtenu , on , en d'antres termes , si l'on pose
™ .(«)-.(«-,) t(»,.)-(.-.)£j(ft«)-ït»,»n <-«'''^*'*''
iifonclion w(a;,s), en vertu desprinç^sélahlisdans an piiécédaBtaxtîele[&l^ ai'
et 82 ] , conservera une râleur finie pour z=:x, quel que soit x , et par conséquent pour z=zx=:ê* On formera de même l'équation
wv
^(x,z) désigaantencoreuae fonction qatconserrera une Talearfioie pour z=x=*; pub on tirera des équations (9) et (10) réunies à la formule (5)
On aura d'ailleurs évidemment
Par suite, la formule (ii) donnera
ou, ce qui reyient an même,
pourvu que Ton suppose, après les différenciations ~ sb:=«. Enfin, si Ton remplace dans la formule (i5) la lettre ê par la lettre z, et la lettre S par le second membie de Téquation (3) , <m obâendrà la formule '
SZ3 ■ Il I II
qm snbsiile toujours , quand on suppose , après les dilTérenciattofis , s =: œ • Pour montrer une application de la formule (i6) , désignons par
«{Qstre fondions de la fariable os » et par
ce que deviennent ces mêmes fonctions » quand on y remplace la variable x par la Tsrialile s. Aloré , en poaattt
(17) fi = £7t?» i;=:tDf^, w=P^.
et substituant , après les difTérenciations » la lettre « à la lettre x , on réduira le premier membre de la formule (i6) , d'abord an polynopie
qui renferme les deux variables x e^ z, puis au polynôme ynQ d-(U-P) n d(UV^^Q) d-'^jV-'-FP)
n djUF^^P) d-'^{V^-VQ) y,p d-{U-Q}
qui renferme la seule variable x. Gonime on aura d'ailleurs
du ^ dU ^tt ^^
et par inhe
le second tnemt>r« de la formait (i6) le réduira évidemmeat k
/ • V'V'PQ j
( ^ ' \U d* H dt, } J
Par conséqueDl» k farwttlo X%6!^ HmtMt9i
VF'PQ
j djr\
F dx)
Cette dernière équation aubaiste , qaellea que aoient lea fcnetfona do a; ««préaentéei par P»QmD 9 V, pourvu que , dans le second membre » on suppoae , aprèa lea différenciations» 2=05. '
Si , dans l'équation (|8) , on prend 11^=^1* f^^^ i , on obtiendra la formule connue
Od-P + -rfQ.rf-^P+-^^rf*<?.tf'-P+
(•9) { hC» i^ n.
Si Ton supposait dans la mémo équation
v=ff^, v^w^, p^w^. Q=fr', •
fF désignant une fonction de la variable x, et otfp^y,,/" d^ exposants quelconques , alors , en faisant pour abréger ' ' '
a**-6^a. n«4-v*=r, na4-^ = s>* on trouverait
•••'*" i.a dx» «<«•— "*" 1 rf« dx'-' *^ dx'
irfhte
1 rf»'
I ■» Il II » I I BJ >É ' I •
(49) Oq peut encore établir directement la formule (20) , en posant dans Téquation (18]
CoiioeYT>w k présent ffae J'ob pteooe , dans la fonaole ()o) , JV=^t' . Alors , en dimant les deux membres de cette formule par r^qpooentielle
lCr4-t— ••)* ^
00 trouvera
r-+ t (r-a)— [8-(n— i)a] + îiî^(r— aa)-»[.-(n-a)a]« + ....
(,+.-«), rf'{[i-a(a»^^)r'e<*»'— >'|
puis, en ayant ^ard à Péquation (19)» et posant» après les difiSrenctations , s;=x, on obtiendra la formule
f+° (r— a)— [s— (n — i)a]+^^^^(r— aa)— [s— (n— s)a]»+.... ^'') < ...+ Î^Çii^ (s-2a)--[r-(n— a)a]« + ^ (s a)— [r-(n-i )a]+s-
= (r+s — na)>4-na(r4-s — ^na)*-*4-n(n — i)a*(r4-8 — ^na)'-'*...4"i««*5»*na».
Si Ton fait dans cette dernière
r = aaj, s = aj^ elle se réduira simplement à
X-+ " (05— 1 )— ' (7— n + 1 ) + °^°"^^ <n^« )"•• (j'— û4- a Y -f etc
=:(x+^ — n)"4"'ï(®+J — n)"~* + n(n — i)(aj+j<— n)*^+...4"ï«*«5...n.
L'équation (as) mérite d*étre remarquée. Lorsqu'on y suppose x + j=n» elle reproduit la formule connue
(25) ar» — -(x — 1)"4- ■°^'^V/ (ag— .a)"-i*,..gfc(a?-**n)'*=i>a.5..>n> Si Ton supposait au xontraire . 0 -4" 7 =^i^ 4~ ^ » ^^ trourerait
( «•-" (aî-i)— (05— 8) + ^I;^(a:-«)-»(a;-3)'-...±(a:— n-O"
Concevons encore que , dans la formule (so), on pose ^=:as. On en tirera, en divisant les deux membres par aj'**"*^^^***^ »
puis» en ayant égard à Féquation (19)» et posant» après les différenciations z = x, on trouvera
r(r-i) ... (r^n-4-i)4--(r-a) (r-a,-i) ... (r-a-D4-a)[»-(n-i)a] -|- etc. , ^, j + 7 (s-a) (»-a-0 •— (s-a-n+a) [r-(n-i)a]+8(8-i) .... (s-n+i)
= (r+s-na4"ï) (r+s-na) . . (r4-»"na-n+a)4-n(a-i) (r^-s-na+O (H"S"D*) • •('^4"*" '**"'^+^ ,4-D(n-i)(a*i)'(i4-s-na-4-i)(r-4-s-na)...(p4-8-na-n-f4) + " •••••• 4"'«^'3*""(^"0°'
Si» dans Téquation (sa)» on prend
a = i, r— n-}-*=îc» s — n + *=JK»
on obtiendra la formule connue :
<d^-i)...(a>fn-i)4-"a?(a4-i)...(aH-n.a)j^4-^^^^
Si Ton fait an contraire
T=x, a = A4"*» ®^ s4-r=nû — *> on trouvera -
(v) ^ ^:, 5i!?^^(a;-aA)(ap-aA-i)...(a?-aA-.n+i)-...±:(a?-nA)(a?-nA-i)...(j?-n/i-D-i) = 1. a. 5.... n^ A".
Cette dernière formule peut être facilement établie par le calcul aux différences finies , et ne diffère pas de Téquatioa
(28) A" { {x — nA)(aj— nA— 1)... {x — nh — n+0 ) =i.2.5...n. Aœ»,
qui suppose seulemekit Aa; = A.
Rerenons à l'équation (18]. Si» dans cette équation Ton remplace
P ?^^ -yr* Q par ^ et f/ par FfF .
00 aura simplement
! d-{fr-P) ïïd{WQ) d^^{W'^'P) n{n^i) d-{W-Q) d^-{W^-P) ^ rfa?" I dx </a?"— * "^ i.a dx* rfa?"-* 'T' " '
D(n-i)<f'(^'P) //"-'(FT— '<?) n^(frP)rf'>-V(yr"-'<?) ^pd^[JV^Q) ,, " i.a rfâ?* dx"^* 1 dx </a?"-» rfx"
Concevons maintenant que. s désignant une quantité quelconque» et R une fonction de la variable x , on prenne
dW
fVdx
Rien n'empêchera de supposer , après les différenciations s =£b » ou , ce qui revient au même , de supposer , avant les différenciations , a = « • Or , dans cette hypothèse , réquation (29) donnera
dx' ~*"i dx dx'-' T«'«Tj ^^ rfo!»-' **" dx"
(*-.)fr— B^j n rf(f^Ç)rf— j(*-.)^->il^j
</ir" i </iC rfa?
rfw
» t • ^ ^— I ' ^^^— ■ WW^ I ■
i devant être réduit à se, après les différenciations. D'ailleurs on a généralement, ^otts cette condition» en vertu de la formule (19) >
= in
el par conséquent
//ar"» rfdp" 7x^ dx"^'
/r désignant la dérivée de jR par rapport à x. Donc Téquation (5i) pourra é réduite à
Ç — 7;;:r— + 7 -rf^ rfP^^^:^ +-+-frlf — j^^, — +«-j^
Si , dans cette dernière , on échange entre elles les lettres Q et R , on aura enc<
^ rfx" +7^^^ — 5^=^ — •+"-+7"7^ dl^' — +* dx"-'
linlin , si l'on remplace , dans l'équafiou (52), Q par QfF' et n par n — on en tirera
d'-'(QRtV'-^W)
dx
puis y en retranchant de Téquation (?a) la formule (54) multipliée par n> on tro vera
dx j
rfa:
d^^ifV^R) , n //»"'(^"-«/^^) n(n-i)r/(/r'Q^) (/°-3(^F°--i?0 .
^ dx'"-' "'"7 ^ e/a?»-» "^ i.a r/a; /^x"-^ "^
dx""
Un peut vérifier directement ces diverses formules, pour des valeurs particulières allribaées au nombre entier n , par exemple , pour les valeurs u=i, n = 2, n=r3, etc.
Si, dans les équations (32) et (35), on pose
on en tirera
(5-hn)"-'+7(r+i)(s+n-i)"-+î^î^^(r + a)n8+n-2)'-^^+.^
et
(r+sjÇr+s+a)-' — r(r + n)— — s(s4-n)— ^
rs
-^ (s-hn.,)-.4.»(!î^l) (r+a)(H-n.a)-'+...+ ^^> (^f a) (r+n-a)-'+ J (r+n-i)"- ; puis-, en prenant s = r, on conclura de Téquation (.^7) (58) . (,r4-n)---(r+or- ^
Si l*on fait maintcuanl r = o, on trourcra
v5o) a(n-i)n"-'= îl(„-i)— »4.2l"- 0 a'(n-2)— '-}-.. .+ ^"-i^ (n-a)"-^2'4. "- (n-i)»-' . Si l*on pose dans l'équation (35)
<^i^ cîii tirera
(^^x (r4^)(r+H-«"'"+0--(r+H-^"-0-r(r+an-u+i)..(r4win-i)-s(s4-an-+i)..(s
rs ~~ ~""
1 LsH-(n.i)a-i]...[s-f(ii-i)a-n+a]H — 7— ^[s+(n-a)a-i]...[s4.(n-2)a-n+5](r4-2a-j)-U... • »--"^";^'^[r+(ii-a)a-i]...[r4.(n-a)a^n4^^
*-^^»"squ'on prend dans Téqualion (4o)
a = i, r = a;, 8=ji ^"^"^ Retrouve la formule (s«6)
==in
dx"^ dx
cl par conséquent
rf-(^-jR) (/- {c^z)W^-^R~^\ d^{1V'^R) d^''\W'
— in
//ar* rfdP" dx^ dx^
/r désignant la dérivée de R par rapport à x. Donc Téquation (2 réduite à
Si , dans cette dernière , on échange entre elles les lettres Q el R ,
d^iORTV^)
liniin , si Ton remplace , dans l'équation (3s), Q par QX^' et ~n
on en tirera
d—UQRlV'-^fV') (34) --- =
puis» en retranchant de Téquation (Sa) la formule (54) mu' vera
n(n-i)<<(^'ii^)rf'-^^-'<?"
rf-j(a?-r)r(a?)j d^-'î{x) — ! = Di :
el par conséquent
dx
rf-(^-jR) d'- {a^z)lV^-^R^\ d^{W^R) rf— ' ]V— »ll
— in
rfa?"» dx"^ i/«» </a;"-*
d^'{W^K) dx
/?' désignant la dérivée de R par rapport à x. Donc Féquaiion (5i) pourra être réduite à
^—Ji^. — 'T-rf^^ rfi^^:"^^: — +...+-frjr — ^^^^^ — +'^—7^ —
Si , dans cette dernière , on échange entre elles hs lettres Q et A » on aura encore
Enfin , si Ton remplace 9 dans Féquation (Ss) » Q par Q^' et ''n par n — iv on en tirera
d'^^(QRlV^-^TV')
dx"^^
puis» en retranchant de Téquation (Sa) la formule (54) multipliée par n, on trou< ▼era
dx 4
^c<--i(^tij{^j n Mr^,tf— (^--/l') . n(n-i)rf(^r><?') ^"-^(If^— 'iî') .
On peut Térifier directement ces diverses formules , pour des valeurs particulières atlrlbuées au nombre entier n» par exemple, pour les valeurs u=?:i, 0 = 3, n = 3,etc.
Si, dans les équations (3s) et (35) , on pose
OD en tirera
(r4.84>fi)'»^(f4-u)'>
et
(r+BJCr+s+a)*- — rÇr+n)-^'— »(3+D)-'
1(5+0-.)— +5M (r4.a)(H-n.a)-'+...+ ^'';^-^ (^4^j(r-|.n-a)-'+^(r+n-i)«- ; piiii, en prenaat 8:=r« on conclura de l'équation (37) (58) i (a,-fn)>-' — (r+o)-' ^
"-(r+n-.)"-4- "^^ (r4-») (r+n.!i)-»+. ..+ ?^ (r4.n-2>-î(r+a)4. ^ (r+n- 1)— . Si Ton fait maintenant r = o , on Irourera
(39) a(n-i)n»-'=-(n-i)— 4.îîl°-^a'(n-a)"-î+...4.îîi5l!i(n-a)»-'2'4.-(n-i)"-'. Si l'on pose dans réquMion (35)
00 en tirera
Lorsqu'on prend dans TéquaUen (4o)
a = i, r = x, 8=ji oa retrouve la formule (s6)
^ désignaiu um qmalUé positiire , on tirera. facilement de la ibrinule (3) les iraleurs de« inlégraics
cl par suite , les râleurs des intégrales
i5) / 05 e cosercc— -j da;., # a» e sinif» jax.
X c * cosifx— -j rf«, I œ e ' , sîn«(^a? J dœ .
On parfiendra de cette manière à des résultats que Ton peut déduire directement de inéquation (ta) » en y remplaçant s par s -H ^ l/^ •
Corollaire 3.*. Si l'on pofte
/(a;»)=e coèt»^ s désignant tonfom^s une quantité positive , on aura
C COS<X.rfx = < — yC '* ,
X e coslo?. c{a:T = (-— I ) — ^ ^
as? <//*o
/an ^«^*-l^' „ •> an ^g^aî»+-p)
â!^ e costx.dx=:€ i X e costx.dXf
o et par suite , la. formule (3) donnera
/an -•^jî>4-L^ X e '* .costa»«dâ? =
K"77 (n+i)n rf'g-77 , (n4-^)(fi4.t)n(tt-i) 1/4^^-47 ^ l
— TTt — + ' - , 7~i etc. . . . i
i.a dt^ ^^ 1.1.3. 4 dt^ \
Si , après avoir effectué les. différenciations indiquées dans le second membre delà formule précédente , on pose < = 0 , on retrouvera » comme on devait s^y attendre , l'équation (l'i)*
SUR m NOUVEAU GENRE D'iNTÉGRALES.
Dans le mémoire déjà cité [page 541» ^^ relatif à la coDTersiôn dea différences finies des poissances en intégrales définies^ j'ai considéré un nouveau genre d'intégrales que j'ai désignées sous le nom d'intégrales extraordinaires , et qui ont quelques rapports avec le calcul des résidus. Je vais indiquer ici en peu de mots leur nature et leurs principales propriétés»
Soient f{x) une fonction de la variable x, qui ne s'évanouisse pas avec cette tariable , r et h deux quantités réelles , dont la première reste positive , et n le plus grand nombre entier compris dans r -f* i • L'intégrale
aura ttécéessairement une valeur infinie. Mais , si l'on pose
a? ^, , . . iF* ^*^ , . . X
notégrale
(3) f'mzi^dx
obtiendra en général une valeur finie; et de plut on reconnaîtra facilement que le seul moyen de rendre finie la valeur de l'intégrale (3), en prenant pour F (as) une fonction rationnelle et «ntière de la variable tt, eat de supposer F (x) déterminée par le moyen de l'équation (a) . Si Ton adopte cette hypothèse , Tint^ale (3) deviendra
l'ne seule inl^aie de ce genre correspond à chaque valeur donnée de la fonction f (a;).
Pour abréger, je désignerai Tinlégrale (4) à l'aide de la caractéristique /^ accentuée, et placée devant le produit — ^~- dxt ensorte qu'on aura
t/ 0 «'■^' ^o j s» a?-« ((2»)) ja?'-»»-»-'
De plus, je noimnepai Texpresslon (5) intégrale cxlraordinairt; et l'opération par laquelle on la détoFnrine, imégratùm exira&rdinaine.
Pour généraliser la fprniule (5) , et la rendre «applicable à toutes les hypothèses que l'on peut faire sur la râleur de la quantité réelle r , il suiBrait d'admettre que » dans cette formule , p peut recevoir des valeurs négatives , et que , dans tous les cas , on désigne par p celui des termes de k progression arithmétique
qui est égal ou immédiatemens inférieur à r -f. 1 , C'est ce que nous ferons désormais. Cela posé , il est clair que , si la quantité r devint négative , n sera négatif ou nuL On aura donc alors
Cy 7 V TTTTr = 0 ,
et par suite
Ainsi , toute» les fois que l'on suppose r négatif, l'intégrale extraordinaire se confond avec l'intégrale ordinaire , et le signe /* peut étr« remplacé par le signe /*.
Concevons maintenant que l'on représente par s une nouvelle variable , par f(ir,8) une fonction des deux variables œ, s, etp^r
ce que devient l'expression (5), quand on y remplace f (as) par f(aj,8). On aura évidemment . i i •
(8) ~ as
On troarera de mémcj en intégrani par rapport à 5 entre deux limites quelconques s = a. s = b ,
eomme bous le signe f. Eu
partant de ce principe /on déterminera sans peine les valeurs de quelques intégrales extraordinaires , cemoie 00 tï le iaire rmr.
1." Problâaae. DéHrmhiêt la vmtefitr de FitOégralâ eocêMàrdlnaitc
r 0t 6 HanX des quantités poêitives*
Soltaum. Soit toujours n le plus grand nombre entier compris dans r -4- 1 • La ^fttCDce n-^r sera né^aliré; et, éndilPérénctânt n fois par rapport à s l'équation (10), on trouvera
(hi a d'éiHMto » A adoptant la iK>tatioil d6 M. Légendfe tviD]^ la page 9 é< b ii.^té^ôn de caiçal infinitésimal] ,
r a>»-»T«e— 'doj = s»-»r(»-*-r) .
Cela posé , la formule (11) donnera N ^ = (-0"»"-r{n-r).
Si l'on intègre n fois cette dernière par rapport à s « à partir de . s = o ; et , si l'on sap^^o^ , ëvée M. Legendi^ , €(Tie ré(|uafion
(»3) r(p4-i)=rr('r),
établie pour des valears ptiltiyes de la varialde r , subsiste encore pour des valeurs négatives de la même variable , on trouvera définitivement
(6o) On aura donc géaéralement
Corollaire i." Soit fl = i; on aura simplement
Si 9 dans la formule (16) » on remplace r par — r ^ on derra y remplacer en même lemps le signe f par le signe /*; et Toiv retrouyera évidemment la formule qui sert à définir la fonction r(r) ^ savoir ,
{17) / as'-"e-'rfa; = r(r) .
CorolUtirt 2.* En supposant la quantité r prise entre les limites o et. 1 ^ on démontre aisément la formule
(18) r(r)r(i— r)=-T-îî— ,
[voyez la 35.* leçon de calcul Infinitésimal] » que Ton peut ensuite étendre» en vertu de l'équation (1 3} , à des valeurs réelles quelconques de la quantité r. Si, dans la même formule , on remplace r par — r , on en tirera
Par suite, la formule (lâ) donnera
Si Ton prend la différence finie m""' de chacun des membres de l'équ&tion (20) par rapport à s ; et, si Ton fait , pour abréger, As = i , on trouvera
TT ,y O a;*+'
Quand on suppose r<[m , on peut remplacer le signe C par le signe f , dans Téquàlion (21), qui se réduit alors à la suivante
(iî«) A"'s'— ■ ^ ^ ^ ^ ~. ^ ■ / e •'(«'— i) —r-.
Cette dernière coincide avec une formule donnée par M. Laplace. " Corollaire 3.* Si l'on différencie, par rapport à r , Téquation (20);- et, si Vqq Aé^ àpïe par la caractéristique 1 les logarithmes pris dans le système dont la base est c , en trouvera
(R—lsr)*— '(«-'— 1) — — ,
h râleur de R étant donnée par la formule
W) ^^rf.lrÇr-i-.) co«Cr + .), ^
Ajoutons que » «1 Ton nomme c la constante dont Euler fait mention à la page 444 <!e son calcul différentiel» et dont la valeur approchée est 0,577916... , on aura , en vertu d'une formule connue [voyez la- 4»' partie des^exercices de calcul intégral de M. Legendre]
ar ^y o i-z
Quand on suppose r<^ra , on peut remplacer le signe /* par le signe f , dans l'équation (s3) , qui se réduit alors à la suivante
*, 1 X r(r4-i)sin(r4-ryir- /»«o,-, , ^ , .m dx
(»6) A-C«'i»)= ^ ^ „ ^ ^ \/p (R-.la.)6-.-(6-'-,) ^.
Si r -f- 1 devient précisément égal au nombre entier n , sin ( r 4- 1 ) ^- s'évanouira ; mais on tirera des formules (24) et (26) combinées entre elles
(27) A»<s— 'ls) = r(n).cosn7r. /* «J""(«""— iT-r: •
ou , ce qui revient au môme
a5-«c-«'(e-'— i) dx.
2.* Problême. Déterminer les valeurs des ifUigrales extraardinaireê,
•'*> dx ... y^'» . ^ dx
6~"sm(aj
^ C— Costa; ^;;^. (3o) y^
r et a él<t»t dee quantités positives.
Solution. En opérant comme dans le premier problème, et ayant égard aux formult^^ (i3) de la 3).' leçon de catout infinitésimal, qui subsistent dans le cas même oii n devient un nombre quelconque , on trouvera
^ e-'costaî^jP5:^ = i K ^ -r ^ T- v ; r(-r) ,
ou, ce qui revient au même,
/ A «-•' cos tx —^57^ = ( s* + 1» )' cos fr arctang - J - r ( — r ) ,
f / «-"sinta? -^^ = (s»+t»)'sinrr arctang- l.r( — r) .
Si, dans les équations précédentes, on changeai! r eo «^r, il fandrait en même temps remplacer le signe Ç par le signe y , et l'on se trouverait ramené aux for mules connues
X'-' «-"•' cos laîrf» = i-^ cos (r arctang-)
/Qo r (r) / fv
x'-'e-^'sînljBcte = ^— ^ — sinfrarctanc- 1 .
Corollaire. Si, dans les équations (3 s), on prend s = o, et t positif , elles donneront
/'» * éx . rir , .
costx — r- = ^ cos — .r( — r) ,
smtx — T— = — t'sm — .r( — r) .
De ces dernières combinées arec Kéquation (i 9) on déduit facilement les deux formules
/'oo /r4-» \ ^o; ir COS — ! It — tX] 7— =-7 r r- t' ,
(65 ) 3. * Problème. Détermmef la vaUur de VintégraU extraordinaire
r e£ 5 ^eant cfetf quantités positives.
Solution. Gomme on a, en vertu d'une formule connue [voyez la 4o.* leçon de calcul infinitésimal] y
OQ Iroitv^ra
Z étant une fonction de t déterminée par l'équation
D'ailleors, en vertu des formules (35), on aura «pour toutes les valeurs positires <Ic s,
pour des valeurs de z inférieures à s ,
et , pour des valeurs de z supérieures à s »
En conséquence, la fonction de z, représentée par Z» sera toujours nulle enircles limites £ = o , ;? = s ; mais entre les limites 2; = s , 2 = oo , oi| aura
Cela posé , l'équation (38) donnera
On peut quelquefoM se servir dès latérales extraordinaires pour découvrir les relations qui exbtent entre des intégrales ordinaires. G*est ce que je vais montrer par un exemple.
