DU CALCUL DES RÉSIDUS

Soit f{z) une fonction qui s'éTanouisse , lorsqu'on attribue à la variable sf des valeurs infinies , réelles ou imaginaires » et supposons que le produit

se réduise alors à une constante déterminée ^. D'après ce qu'on a dit dans le premier volume des Exercices» page iio» le résidu intégral de la fonction f{z) sera précisément égal à ^ » en sorte qu'on aura

Comme cette dernière formule peut servir à résoudre un grand nombre de problèmes^ il importe de bien fixer le sens de la proposition qu'elle renferme. Tel est l'objet dont nous allons d'abord noué occuper.

J'observerai en premier lieu que ^ dans le cas où l'équation

a une infinité de racines , l'expression résidu intégral désigne la limite vers laquelle la somme des résidus partiels de la fonction f{z) converge de plus en plus» à mesure que l'on fait entrer dans cette somme un plus grand nombre de termes. Or la valeur de cette limite peut dépendre de l'ordre dans lequel on range les résidus partiels, pour les ajouter les uns aux autres. C'est ce qui arrivera » par exemple » si l'on suppose

2sm7r2

Alors l'éqtiation (5) , réduite à

(4) «sintr^ss.o ,

IL* ANRix. 35

aura i.* deux racines nulles » correspondantes à un résidu pareillement nul » 2.* des racines positives emprises dans h sérii»

(5) i p 2 » S » 4 > etc.. ,

et auxquelles correspondront lés résidus partiels

(o) 1 , — , y , — , etc.. ?.

9k* des racinos né^tis€9è oomprîses dass la série

(7) — 1» — a* — 5, —4» etc..» ^

et auxquelles correspondront les résidus partiels

Or, si dans Taddition des résidus partiels, on suit Tordre de grandeur des valeurs numériques des racines , en ajoutant toujours simultanément les résidus qui correspondent à des racines égales » mais affectées de signes contraires , la somme obtenue sera constamment notle , et Ton pourra en dire autant de la limite vers laquelle coùvergera cette tomme » à mesure que Ton y fera entrer un pins grand nombre de termes. Donc , sU'oa considère la notation

comme destinée à représenter la limite de laquelle le résidu

, ' «po» f fircosnt\\

s'approche indéfifiiraMt pour des valeurs croissantes àe n, on aura

Mais si» dans Taddilion des résidus partiels^ on n'a. point égaMi' à- l'ordre dcgnaBdeor des valeurs numériques des racines ; si , pour ikf^n les idées ', on ajoute aux n premiers

( »47) termes de la série (8) les n-{^m prettiier^ terne» de la série (6) , m et n étant deai nembres ealiers qaekoDfaes , en obtiendra b somme

n+l ' n+a Ji+ffi

qui , se trouvant toujours comprise entre les denx ^nantîtes

[voyez la page 397], pourra conrerger vers une Umite finie et positire, ou même vers une limite infinie , tandis que les nombres tn et n cr0lti<enl indéfiaiment. On arriverait à des eonclosioos du même genre, si Ton ajoutait au n firemiers termes de la série (6) les n^^-m premiers tttvMs de la série (8). fterioment alors la sowms obtenue» et la limite vers laquelle cette somme convergerait j deviendraient négatives. Ainsi» dans le cas que nous considérons» le résidu intégral

aura une valeur générale indéterminée» qui pourra être finie ou infinie» positive ou négative; et la formule (11) ne fournira qu*une valeur particulière de ce même résidu.

Revenons au cas où f{z) désigne une fonction quelconque. Alors l'équation (3) pourra offrir non-seulement des racines réelles » mais encore des racines imaginaires. De plus toute yoriettr imaginaire de z pourra être présentée sons la forme

(i4) z = r0PV=T,

r désignant une quantité positive appelée module ^ et p une variable réelle» com* prise entre les dem limites — ir « + «r . Enfin Ton pourra concetoir que les turial^le» réelles r et p représentent deux coordonnées polaires » savoir le rajon vecteur d*uu point mobile » ce rayon étant compté à partir d*une origine fixe » et l'angle que fait le même rayon yect'eur avec un axe fixe passant par l'origine. Gela posé » imaginons que » dans le plan des coordonnées r et ]p » on trace une courbe fermée ou un contour fermé» dont la forme varie sans- cesse et de manière que ses différents points s'éloignent indéfiniment de l'origine. Supposons d'aiHeurs qu^on ajoute les uns aux autres hes résidas partiels de la fonction f{z) correspondants à des valeurs de r et de p qui indiquent tfes points situés dans TiAtérieur de la courbe. Le nombre des termes dont se composera la somme ainsi obtenue croîtra sans cesse, et la limite vers laquelle conver^^era

celte somme pourra dépendre dé la nainre de la courbe dont nous avons parlé. Dmc k< résidu intégral de la fonction f{z) » qui n*est autre que cette limite, aura le pk souvent une valeur générale indéterminée. Mais il n'en sera plus de même si la coori^ej est réduite à la circonférence d'uir cercle dont le centre coïncide avec l'origine, et dont le rayon R croisse de plus en* phis. Alors là somme des résidus de f{z) cormpondants à des points situés dans l'intérieur du cercle , c'est-à-dire • la somme des r> sidus correspondants aux racines dotit le modulé' sera inférieur k R ^ se trouvera re> présentée par la notation

[voyez le i.*' volume des Exercices» page 207]» et pourra converger vers une limite déterminée, tandis que le rayon R deviendra de plus en plus grand. Cette dernière limite sera une valeur particulière du résidu intégral

que nous appellerons valeur principale, et qu'il ne faut, pas confondre avec la valeur générale ci-dessus mentionnée. Dans l'exemple que nous avons déjà traité , le résidu intégral

a pour valeur gé^iérale une quantité indéterminée , mais sa valeur, principale se réduit à zéro.

Les observations que nous venons de fait*e s'étendent au cas même oii » la fonction f{z) se présentant sôus la forme d'une fraction , il s'agirait d'évaluer le résidu intégral

relatif aux racines de

= 0 « qui rendraient le dénominateur de la fraction nul ,

ou le numérateur infini. Supposons , pour fixer les idées »

Alors les valeurs principale» des deax expressions

fW

'^ ne seront antres qae les limites vers lesquelles converçeront ie^ résidus*

(fl)rW (( t{z) )) WrW • f(z)

{^fy^^y- F(*) ' (.)<-'(.,) ((F(«))) '

, It - tandis que le module R < deriendra de plus en plus grande '

11- est maintenant fiicile de s'assurer que-, dans la formule (*) , le résidu intégral '

la fi')))

doit toujours être réduit à sa valeur principale. Effectivement « pour y parvenir , il suffit' ^ d'observer que cette formule peut être déduite de l'équation (64) de la page 9i3 du i.*' '* *' volume à l'aide des considérations suivantes.

Supposons que la fonction f{z) ne demeure pas infinie pour 9 r= n . Alors , en remplaçant i par z, f{t) par f{z)» et r^ par zéro /dans Téquation (64)' de la page si 9 du premier volume, on trouvera

(o) (-«•) air */ -»

J'ajoute que la formule (16) s*étend au cas même où la fonction f{z) devient infinie avec — » pourvu que» dans ce cas /on considère ie résidu de f{z) relatif

à s = o comme renfermé dans la somme désignée par la notation :

(0) {'ir)

En effet». soit m- ^le nombre des racines nulles de l'équation (3), et faisons» pour abréger »

Les premiers termes du développement de f{z) suivant les puissances ascendante! de z composeront le poIjQome

et<la différence

fera une nouvelle fonction ^e z qui ne deviendra phis infinie av^e — . On aura

donc, en vertu de la formule (16) ,

Or , ai Ton substitue dans Féquation précédente la valeur de w {z) , en observant que l'on à, pour n> 1 ,

>et fiour j^=£i I

on obtiendra la formule

O (/(«))) \ /^ X— — / BôP^=rf{RcP^^)dp , /^

qui pourra être évidemment réduite & la formule (i€).

Cela posé, désignons par ^ une constante déterminée, et admettons qu*en attribuant au module r des valeurs de plus en plus grandes , on puisse choisir ces valeurs de manière que la différence

(17) À = «/(*) - ^= r0PV=rf(r,pV=r) ^g'

4*approche indéfiniment de zéro* quel que soit p>. En désignant par R une des rajours dont il s'agit , et par 9 la valeur correspondante de Tintégrale

on conclura de Féquation (iC)

La démonstration précédente de la formule (a) subsisterait encore , si les Taieurs de. la différence

correspondantes à de très-grandes valeurs de z , étaient sensiblement nulles pour des

valeurs de p sensiblement distinctes de certaines quantités P0» Pi» Pm» «t

demeuraient finies pour des valeurs de p très- rapprochées de p^t p% 9 p»,» ••• d^ effet, les parties de l'intégrale (i&), correspondantes à ces dernières valeurs de p, seraient de la forme

(«o) -î— / ''^ '• A rfp = --i- / ''* * (A, 4. A^vO dp *.

, désignant des nombres très-petits , et A,. , A. des quantités finies. Or , chacune des intégrales réelles

étant égale au produit de la somme f , -|- s> par une moyenne entre les diverses va^ leurs de A. ou de A. , resterait fort petite dans Fhypothèse admise; et roapourjmt eq dire autant non-seulement de l'expression (20) , nnis encore de l'intégrale (18) , dans laquelle toutes \q^ parties relatives à .des valeurs sensibles de A seraient sensiblement nulles. Ainsi, pour que notre démonf^tratton subsiste, il suffit que des valeurs de A.^ correspondantes à de très-grands moduler d& % , demeurent généralement ou trèspv^tites , ou finies , quel que soit l'angle p, et ne puissent cesser d'être trèa-petites , en devenant finies, que pour certaines valeurs particulières du même angle. Il 7 a plus; il suffit que cette condition puisse être renaplle^ pour des modules de z convenablement choisis, mais supérieurs à toute limite assignable , par exemple» pour des module

respectivement égaux aux différents termes d'ane série donnée et toujours eroîssanle. Il pourrait d'ailleurs arriver que d'autres valeurs de ^ » qui correspondraient è des modules de t très-considérales » mais pris hors de la série donnée, fussent infinies; et c'est ce qui arrivera d'ordinaire , lorsque l'équation (3) aura une infinité de racines.

Pour faire mieux saisir ces principes , appIiquonsJes à un caa particulier, et supposons

Comme on troarera dans ce cas

il est clair que le produit «/(O différera très-peu de Tunité, pour de très-grandes valeurs attribuées au. module r de la variable

z = reP^^^ = r (cosp + \/^ sinp) ,

tant que l'on n'aura pas sensiblement

(95) cosp = o,

c'est-à-dire ,

(a4) p=: + -^, ou P = — ■^•

Ainsi , dans le cas présent , on tirera de la formule (aa) ^= i »

i)'ailleurs , en prenant p = sb — , on trouvera a = ±: r i/TT ,

•^ ' cosr

Or, cette dernière valeur de A deviendra ipfinie, si Ton pose

(an+i)tr (97) ^= a >

n étant un nombre entier aussi grand que l'on voudra ; mais elle reslera finie ; et se réduira simplemenl à l'uoité » si Tod poae

c'esl-à-dire , si Ton prend pour r un tonne 4® 1a série

(ag) o, ir, ^itf 3ir, ' 4^9 etc....

II 7 a plus : si le nombre entier n devieni infiniment grand , la valeur de A correspondante à r = n)r« restera toujours finie, lorsqu'elle cessera d'être infiniment petite, ou, ce qui rerient au même, lorsque l'angle p diiTèrera très -peu de Tune

des quantités — — , + — • P<>^ 1^ démontrer» nommons ' -^ le module de la

différence A et $ un arc réel choisi de manière à yérifier Téquation

(3o) cR (cosÇ + i/:rsin5p) = A = . . ^* > ^ ^ ■ .

On tirera de cette équation

^ ' ^ e»''«-/'+acos(ar8in/?) + <-»'-•-/' *

Si maintenant on cherche les maxima et minivtia de Texpression

(3a) «•'"•-/'4-ai»s(arsinp)+«-*'"*«^,

en considérant ^p comme seule variable, oq reconnaîtra qu'ils sont donnés par la formule

acosp.sin (arsin/?) + (^■''•••i' — <-■''•••/') ainp =.o ,

il laquelle on ne peut satisfaire qu'en supposât

(35) cosp = o , ou . (34) mïp = o ,

puisqu'on en tirerait dans toute autre hypothèse

4rcosp *" ^rsinp - : . . '.

IL* KmkB. 34

«tf ar luhe

(arcosp)» . (arcwp)* , ^ '+ ..a.3 +i.a.3.4.5 +"**=•••<•'

ce qui serait absarde. Il est aisé d'en conclare que l*expre»sion (Sa) admettra un seul maximum correspondant à skip =s o , satofr »

et un seul mimmttm. correspondant à cosp = o , savoir »

Dmc Ja qnnftiié ;s^* aéra comprise entre les limîtes

<"> ' i-TT^Ï-

cos' r

et le module ^ de la ^érence A ne surpassera jamais la yalenr numérique du rapport

CDsr

Ce rapport devient infini , comme on devait s'y attendre , quand on suppose

(aw+iW

Mais» si Ton prend r = n7r, la valeur numérique du même rapport « ou la limite supérieure du module ^ , se réduira simplement à l'unité. Donc alors , dans la différence A , la partie réelle et le coefficient de {^ seront renfermés entre les limites — I » + 1 » ot cette différence aura toujours une valeur finie , quand çlle cessera d'être infiniment petite « ce qu'il s'agissait de démontrer.

On aura douc> en vertu de la formule (a) , pourvu que l'on réduise le résidu . i

( sS$ )

à sa Taleur principale. La formule (Sg)^ iUi^t d^f elcffiée » fournil l'éfmlkw COWiie (4o) i___ + ___4.eto...=.

De tout ce qu'on vient de dire « il résulte qu'on peut énoncer le théorème suirani. 1.** THioaftvB. Si, en aiiribuani au modute r de ta variable

zz=zr (cosp + |/!T sînp) des valeurs infiniment grandes, an peut Us choisir de mimiàrç nue le praduU

deviesme sensible/mms égal à une amsUmUé di$etminie g, ^mel fica seii sFailkurs € angle p» au du mmn$ de manière que ta diffétenm

resu toujours finie eu infiniment petite, et ne cesse if être infiniment petite, en demeurant finie , que dans le voisinage de certaines valeurs particulières de V angle p / ^>^ aura

pomrwt quù, dam Upremien «umfaw d» féqvMàdii (s)« 9» ridvà$» le téiiém intégral :

à sa valeur principale»

Corollaire i.^ Lorsque les conditions énoncées dans le théofème précédent sont remplies , la Taîeur principale du résida intégral

( a56 ) est complètement déterminée par la formule (9). En d'autres termes , Texprcssion

8'ap|»roche mdéfimment d*ane limite fixe , tandis qtie le nombre Si. derient de plu» en plus grand, et cette limite fixe est précisément la constante g. Donc, si Ton

nomme

les divers modales des racines de l'équation (3) » rangés par ordre de grandeur , et u„ la somme des résidus partiels » relatifs aux racines qui offrent le module r,, , la série

(4s) U^, Ur, tt, , ... Un,

sera convergente , et Ton aura

(45) tto + <*i + ti« + etc. = ^*

Si , au lieu de prolonger la série (49) à Tinfini , on l'arrêtait après un certain terme r la somme des termes conservés ne serait pas rigoureusement égale à g, mais la différence entre cette somme et la somme de la série serait représentée par Tintégrale (i8). Nous montrerons » dans un autre article , comment on peut calculer par approximation l'intégrale dont il s'agit « et par conséquent le reste de la série (4a)*

Corollaire a. Si le nombre des valeurs de p, dans lé voisinage desquelles la diffi- -rence

cesse d'être infiniment petite en demeurant finie » croissait indéfiniment avec le modale r de ht variable z , alors, pour que l'on pût compter sur l'exactitude de l'équation (y), il deviendrait nécessaire que la somme des intégrales semblables à l'intégrale (ao), s'aprochftt indéfiniment, pour des valeurs croissantes de r, de la limite zéro.

Exemples. Appliquons maintenant le théorème i à quelques exemples; et posons successivement

Il 1 • • • •

(44) /(g) = — ■/ ^^ , (45)' /(^y— __UL! — ^.

On aura , dans l'un et l'autre cas , ^= i • De plus , les valeurs de à , qui correspondent aux valeurs précédentes de f{z) , savoir.

resteronl toujours finies ou infinimonl pelites , la première , pour toutes les valeurs de r comprises dans la série

(48^ — *r, — ff, — ff, — ir, etc.. ,

et la seconde pour toutes les râleurs de r comprises dans la série (sg) , et ne cesseront d'être in^Un^t petites » en demeurant finies , que pour des valeurs de p trfcs*Yoisine^ /

de + — ou de ' — — . Cela posé , on tirera de la formule (s) a a

HO) i((T-;aîï^))=- (^) <!^({t7SS^))=--

puis^ en développant les équations (49) et (5o) , on retrouvera les formules connues

(5.) » + j+.7 + -ik-*-''*^"=T •

(5s) » + ^+^ + ^+etc...=^.

Lorsque la série'(49) est divergente, l'équation (a) ne saurait subsister, et par conséquent Ton peut être assuré que les conditions énoncéea dans le théorème 1 ne sont pas remplies. Ainsi , par exemple , si Ton suppose

m désignant un nombre entier quelconque » la série (4a) deviendra

(54) o, — , ^ —, ^T"' * + etc... .

et sera divergente. Donc alors il sera impossible d'assigner au module de z- une valeur telle que la différence A reste finie ou infiniment petite , quel que soit p • Cette conclusion est d^autant plus remarquable qu'on a, dans le cas présent, ^=0 , et que l'expression

sm + 7

A = eflz) =z — ; r

r«'»-^*[cog(am+a)p+(/ri8iD(flm+a);>]

^ r » («M 9 ^ 4. V;;=r HD a f > . ^— r * («M A ^ 4- Vi=r tia a ^)

s'éranouii ea général pour des yaleun infiniaê da modale r de la tariable s • Mau,

si l'on attribae à Tangle p Tune des valeurs » + — , la même expression

réduite à

^aiii4-9

deviendra infinie, quelle que soit la valeur infinimeui grande attribuée au module r« ce qui s'accorde avec la conclusion à laquelle nous étions partenus.

Lorsque , dans la formule (s) , on suppose la constante ^ réduite à zéro , on obtient, au lieu du i.* tbéorëmo, Celui que nous aUons énoncer.