e Jcos(7rj/»i)+tf +aco8(a7r^/5ï) + e
Lorsqu'on pose « = ô, la formule (117) reproduit la première des équations (91). Ajoutons que ^ si l'on prend
les formules (11 5) et (116) donneront
«'^-e""^ T+74" "» e'^-tf-*^ T^+TT "^ «3^.^-3^ 54+^4 +••- (118)
4«* I «^^^» -aco8Jc*|/î+tf-«^'v^ï ff»*» I '
( 'li )
■ (t) , ■ (.-ir)
(119) { "^ ^iJr(A-0.aC08afra+e-*^(*-0 (a-i)4+54 "^ "
frsindfra 1
*4 4(l-C06aira)* 9r8fna9r« ^ 1
Si , dam ces dernières fomroies , on fait énmoair s , on en tirera
^***^ I "** («-1)^ d»^<*-0-acosaira+tf-»^(*-0 +"•
it* a+cosaira
5 '(l-cb6aîra)4
Sinaira«
On peut encore déduire da théorème i.** deux propositions qui méritent d'être mentionnées , et que nous allons faire connaître.
5.* TnioRÎiiis. Si p en attribuant au module r de la variable
. ^ = r (cosp + |/rr sînp) des valeurs infiniment grandes, on peut Us choisir de manière que le produit
devienne sensiblement égal à une consta^nte d/Uerminée g , quel que soit tCaUksn l'angle p , ou du moins de manière que la différence
reste toujours finie ou infiniment petite, et ne cesse d'être infiniment petite, en et
( 1175 ) ' mcurant finit , que dans U voUinage de urtaines valeun par$iculUft$ de p; on
aura
pourvu que, dam U premier membre d» Céquation (i a4) , on réduite te riMa intégral
à sa valeur prineipate.
Démonstration. Soit « = «, oDe racine quelconque de Téquation (3). Si l'on pose
^ = — I, «t = — e. , on aura
dz
et la formule (4i) de la page 17S da premier volume donnera
De pins , comme le module de la variable t sera constamment égal au module de la yariable z, il est clair que l'équation (is5) entraînera la suivante
Si maintenant on fait converger le module R vers' la limite oo , en trouvera, en passant aux limites, et supposant les résidus
réduits à leurs valeurs principales ,
et par suite
Comme on aura d'ailleurs, en vertu de l'hypothèse admise et du théorème i.«';,
on trouvera défuutivemeot
ce qu'il s'agissait de démoatrer.
DaDS le ca« particulier oii la coDslante ^ deTÏent nulle , on obtieut , !i la place du 5.' ihéorëme, celui que nous allons énoncer.
4>' TnÈoBBiiB. Si, en atlribuani au module r de la variable
z = r {cosp -\- j/TT sinp)
du valeur» infiniment grande», on peut les choisir- de manière que le produit (laz) devienne tentiblement égal à zéro , quel que toit tf ailleurs Cangle p, ou du tnoitu de manière que ce produit rette toujourt fini ou infiniment petit, et ne cette d'être infiniment petit, en demeurant fini, que dant le voitinage de certainet valeuri parùeulièret de p ; on aura
pourvu que, dant le second membre de Céquation (l3o] , on réduite le rétidu intégrai
à ta valeur principale.
Corollaire. Lorsque la fonction f(s) est paire , c'est-b-dire , lorsqu'elle ne cbao^e
pas de valeur , tandis que la variable s change de signe , on a identiquement , quel que soit z ,
Donc alors la valeur principale du résidu intégral
s'évanouit.
Exemple. Si l'on prend
- jrcosiri
■^ ^ '~ zsinffi ' on obtiendra la formule
tt\a
qui subsiste effectivement dans le cas où l'on réduit le résidu qu'elle renferme à sa rtleur principale, mais peut devenir inexacte dans ie cas contraire, ainsi que nous l'aron^ montré ci-dessus.
