LE BANG DE CE TBBIB
Dans le bel ourr^ge qfii a pour liirQ IntraiwtiQtk à CAn4itjf$c dui infiniment peu'l« , et dans le tome II do ses Opuscules analytiques , Euler est parvenu, en développant certaines fonctions exponentielles ou circulaires » à dos séries dignes de remarque , desquelles on déduit aisément d'autres séries du même genre que j'ai considérées dans un Mémoire présenté à l'Institut en i8i4 [voyez le tome I.** des Mémoires des Savants étesngers , pages 763 et fSS] , et qnî depuis ont été peproduitea dans dtrera ouvrages. Or il importe ^'observer qu'à l'aide du calcul dea résidua on peat»noihi6ulement parvcnlri plus directement qu'on ne l'avait encore fait ^ à la sommation des séries ci-dessus mentionnées, mais encore sommer ou transformer un grand nombre d'autres séries. C'est ce que je vais montrer dans cet article.
Lorsque , dans une série , le terme général est exprimé à l'aide du nombre n , qui indique son rang , cette série est nécessairement de la forme
(1) /(O , /(«) . /(3) , ...'/(n) , etc... .
f{z) désignant une fonction donnée de z. De plus, si la fonction f{z) est paire, c'est-à-dire, si eiio conserve la même valeur, tandis que la variable z change de signe , on aura identiquement
et par conséquent la série (1) pourra être présentée sous la forme
Aihj:t±, m±ft±, lEiim., etc...'
Enfin , comme les quantités
comprennent toutes les racines de l'équaiion
(5) sinnz = o^
et qiie la fonction sinir:; a pour dérivée ^rcos^r^, on trourera, en admettant que la série (5) soit convergente ,
nCOSnz
ou da moins i,
J /(>) + /(>) 4-/(3) + 1 r /W. f / j:!f2!ILU
Les deux équations qoi précèdent peuvent servir l'une et Tantre à la sommation ou à la transformation de la série (i) ou (3). Mais la première éup^le que f{t) conserve une valeur flnie pour z = o. ^
Si Ton désignait par f{z) , non plus une fonction paire , mais une fonction quelconque de z , le binôme
serait une foncliou paire de la. même variable, et la somme de la série qui aurait pour terme général
OU bien
se déduirait encore de la formule (6) ou (7).
Supposons maintenant la fonction f{z) telle que , pour des valeurs infiniment grandes , mais conveoablemoQt ohoisiea » du moduh) 1* d« in variffbltf 9 , Tun ^s produits
(il) */{«). (>«)
( 3oo )
reste toujours fini ou infiniment petit , et fini seulement dans le voisinage de certaines
valeurs particulières du quotient — . Concevons d'ailleurs que, pour satisfaire à ces
conditions » il suffise d^attribuer au module r des valeurs infiniment grandes , qui diffèrent sensiblement des termes d'une certaine série. On pourra remplir encore ces con-
ditions, après avoir multiplié le produit (ii) ou (I2) par le facteur
cosyzz
et le théorème 2 de la page a58^ ou le théorème 4 de la page 276 donnera
En combinant l'équation (i4) avec les formules (6) et (7) , on obtiendra les suivantes
f ,s f /(o) + /(0+/(») + /(5) + ... ) p .COS.. ,, ^,^,,
l+/(-i)+y(-a)+/(-3)4- I """' Il ' //'
dont la première suppose que f[z) conserve une valeur finie pour z=^o. Observous enfin que^ daâs les formules (iS) et (16) , on peut à l'expression
substituer l'expression équivalente
^Isiair^
dz
Il s'agit k préseiit de constater l'utilité de ces formules pour la sommation ou la traosformation des séries.
(Soi.)
Concerons d*abord que la fonction f{z) se réduise à une fraction rationnelle^ Si , dans cette fraction , le degré du dépoipinatcur surpasse lo degré du numérateur, le produit (n), ou du moins le produit (12) remplira les conditions prescrites , et par conséquent la somme de la série (1) ou (3) sera déterminée par Tune des formules (lâ) , (16). Ainsi , par exemple, si Ton p^nd
m désignant un nombre entier quefconque» la formule (16) donnera
44sînirs
dz ((«•"')) '
puis on en conclura , en posant irc = l
%tn
