I].* ANN&X
équation a*a pas de racines égalea , il suffira , pour déterminer convenablement les coefficients A, » Jfs » <eto... .detnmrér une nouTeHe foncipon f (r) , qui reste finie quand on attribue à la variable r Tune des valeurs r. , r. » etc**> > et qui satisfasse à la formule
En efièt , cette feoGtioo étant. tr«itTée,iU.foniiala (6) donnera
(7) ^(«.y. ••• «) = "^&5-^(*'/» — '») + Y{rk ^^*'^' •" ''^ "*■ *^"* '
et par conséquent on rérifiera l*éqaation (5) en prenant
^^' . '"•~'F(M"' '""fW"' ^'-"FÔT'
D*iMiUeurap.eamme.on a identiquement
(9) f («.7 ) = <î^ "i^Tïr '
la formule (6) pourra être réduite à
. . r ({a^y,...r) r v(r)f(iP,jr,.,.r)
et l'on tirera de -oatte dernière, en admettant qoe f.(r) conserve une Ta|ear finie pour
Posons maintenant
(is) FW — (•• — »)?(♦•) = z(»');
on eo conclura
(,)=j:wixm.
Or, pour que la valeur précédente de f (r) ne devienne pas infinie en vertu de la supposition r = s , il faudra que Ton ait
(•4) FW =%('>! •
On trouvera par suite
puis » en faisant , pour abréger* .
on <Àtieodra la formule
dans laquelle 4'(r) désignera one fonction qui deyfa, ainsi que ^(r)» conserver une valeur finie , non-senleiiient pour r = # » mais encore po4r cbacone des valeurs de r représentée» par r. , r, » etc.*.
Concevons à présent que Ton snhsUtne dans la fermale ( 1 1 ) la valeur de 7 (r) donnée par Téquation (16). La formule (11) deviendra
ou , ce qui revient au même.
et il ne restera plus qu'à choisir la .fonction ^{r) de manière à vérifier Téquation (17) ou (18). Qr» dans le premj^r membre de Féqnation (18)» le second terme disparaîtra évidemment si Ton suppose
De plus f si la fonction {{x,y,.^. r) conserve une valeur finie pour toutes les valeurs finies de r, on aura identiquement
^ ' '^(((r..)F(r))) -^U(r.;)F(r) jj-.
Enfin , si Ton représente par p le module de la variable r, et » si Ton suppose que le rapport
I deTienoe généraTement nul , ponr des ralears infinies de p , conrenabièment choisies,
en pourra en dire autant ivt produis
(as) ^ f(<B,y,...r) 1 f(<g»y»— r)
et l'on conclara du 2.* théorème de la page aSS que la valeur pnucipale du rendu intégral
ft'é?anouU. Ajoutona fue celte valeur principale a'évanouira encore eu vertu du théo- 'rême cité , st , pour des valeurs infinies de p . convenablement choisies , le rapport (si)
est toujours fini ou infiniment, petit » qùd que soit le quotient — » ai fini seulement
dans le voisinage de certaines valeurs particulières de Tangle r déterminé par l'équation
(a4) r==p(cosT-f-l/^»»taT).
Donc, si ces conditions sont remplies, le premier terme de (a formule, (i8) sera égal à zéro , et Ton vérifiera l'équation (6) en prenant
D'ailleurs la valeur de r , désignée par # ». est entièregient arbitraire^ et peut être considérée comme une nouvelle variable. On peut donc énoncer la proposition suivante.
l.»THiOBBM£. «Sot^
WM fonction des variables indépendanUs x,y^...r^ qui demeure finie pour toutes Jes valeurs finies de r, et s une autre variable indépendante de r. Si, pour des valeurs infiniment grandes,, mais convenablement choisies, du module p de la variable r, le rapport
reâU tov^ourt fini M infinimêiit petit , el fini MmUm$nt dam Uvoi»nag6 de certaines
r valeur» particulOre» du quotimt — on aura
ou , ee qui revient au même ,
(«7) nx.y.'"») = C-^Z7 ((F(r))) '
pourvu que Can réduise te réêidu int^ral, compris dans le second membre de C équation (26) ou (37) » à «a valeur principaUe
Corollaire i." Il est important d'obserrer qae le théorème précédent ne doit pas être restreint au cas où les racines de Téqualion (S) sont inégales. Ajoutons que Ton peut déduire immédiatement Téquation (87) de la formule (5) de Ift page 279, en substituant , dans cette formule , la lettre s à la lettre x 9 et posant d'ailleurs
Corollaire s. Souvent» pour que les conditions^ énoncées dans Le théorème i«*' puissent être remplies» il est nécessaire de supposer les variables a?» j» comprises
entre certaines limites. Alors on n'est en droit de considérer la formule (s6) comme
exacte f qu'autant que l'on attribue aux variables x^Jf des valeurs renfermées
entre lea limites dont il s'agit.
Corollaire 3. Gomme on a identiquement:
•L est clair que l'équation (36) peut' être présentée sous la forme
Si, dans Téquation (36), on remplace successivement ï{x,y,.,.r) par les iroiss fonctions
«f', • cosrsB , sin ro?, on obiiendra » au lien du premier théorème » ceux que nous allons énoncer.
( Ssft )
■2.* THioRÎMis. ^^dienl r, «; or tt^êvariable$in4àp$ndanie$; ei F(r) tmefmr^ tion donnée de r. Si, pour des vtUeurê infiniment grandee^ mais convenablement choisies, du module p delà variable r , 4e rapport
irx
reste toujours fini ou infiniment petit « ,et fini seulement dans te voisinage de certaines valeurs particulières du quotient — » on aura
OU , et qui revient «« métne ,
(3a) e" = FW l -î
frjT
pourvu que C on réduise le résidu intégral, compris dans le second mtmbre de C équation (3i) CKI (3a), à sa valeur principale^
Cotollaire. En combinsmi Vêtfastàon (5i) avec la formole (aS), on en conclut (33) e'' = t ^*
(( F(r) )) Exemples. Supposons
a désignant une constante positive. Alors, Téquation (5) étant réduite à
(35) ««'•— i=.o, les racines de cette équation seront respectiveinent
(36) o, ± \/^ t ±-i— i/rr, ± l/T » etc.,
mi elles auront pour modules les différents termes de la série (5;) 0, •—-, . -— , ---, etc..
( Sus >
Cela posé» si Ton attribue au laodute p > 4e 1a irariable r une valeur infiniment grande , prise dans la série
58) —, — , — , -2, etc...,
el h la variable a? une valeur positive , renfermée entre les limites o » a * le rapport (3o) , réduit à la forme
sera toujours fini ou infiniment petit , et ne cessera d'être infiniment petit , en conservant
une valeur finie , que dans le cas où le quotient — difilbrera très-peu de db (/TT .
On aura donc , en vertu de l'équation (5^) , pour des valeurs de ai renfermées eïilre les limites os r= o » x = a ,
OU , ce qui revient aumème » -
/ air» avm • 4*'fl* , 4*'«
I t a^cos airsm ascos ■»4^8m
L'équation (40 pourrait être aisément déduite des formules (65) et (66) de la page 3o8.
Supposons enclore '
(4a) .— » F(r) = a*''V-,l»oesAr+«^fr, '
« , 6 désignant dçpx constantes positives » et^isisons » pour plus de commodité »
L'équation (5) deviendra . .
4»r — 9C0SAr-|-«~"'sB0,
puis on en tirera , en désignant par n un nombre entier quelconque ,
t. ftniryri ,
2 nie
(cos B zf: j/TT «in e) v/H* .
Donc les racines de TéquatioD (44) Auront pour modules les différenU têriDes de la série
ftfr
'4îf
eic« • • •
Cela posé » il est facile de recoonattrje que » si Ton attribue au module p de la variable r une valeur infiniment grande prise dans la série
3ir
eic* *• s
et à la variable ^ une valeur positive renfermée entre les limites o , a , le rapport
>rx
,rm
«•'■- a cos Ar +«-*'■
restera infiniment petit, quel que soit d'ailleurs le quotient — . Done , en vertu de l'é-
quation (Sa) $ on aura , pour^es valeurs de x renfermées entre les limites œ == o ,
ou , ce qui revient au même
= (c** — acos6j 4- «-•') L
rx
j-r ((«*"•- a cos^r+e-*""))
»«jr
««'-acos^^+tf""*' (a»+^»)5»
mira 0 b^a^^
asm
antr6
aiiortB
anir — {b ''»' a\/Ti)i aiiir4.(6 — a\^)8
nssoD
nsri
asm
anir^ (6 + aj/n")' anir-f- (6 + a|/rr)s
Je signe S s'étendant à toutes les valeurs entières et positives de n
/ ( 5«6 ) Si Ton fait maînioDant 6 = a , on trouvera , pour tootea les valeurs de x ren fermées entre les limites 6 ci a «
tSX
\'\'SX
«"'-acosflj+tf
aa^f
3 eS
Mnr^
nTOB
iA
n = i («"^ — e-"^)!/^' 2'1'f'— (i — V/^)aj 2nir— (i + v/^)a#
nTdP
iT.
, (e«^ — e-'^)V/^ ( anir4-(i + j/~)atf «nir^- (i — y/!:T)as
ou , ce qui revient au ^lême ,
e«'-acosa«+0
Uc.'^-(..'^).n!ï -4 ^».S.(„y).,.
eT.e-'^
TT
