II.*ÀR5iE
(5iC) OU » ce qui revient au tufioie ,
€** 5 lasser
ir rr]0O5< +-SÎII If!JLL {»+— TTrlcos + -»io — .!îsiî
Ifair -Jsîn cor ^^v* |air+^^)i
y\ a^/ g a m ^ V ay^j/
^lAin ««Att-..^ «'flj^A io.».j.i )siD -— C09 ZZZJ
aâ a*ê* ^ aê «■«•
«rV7.,-*y» T a*ic*-aîr— 7T- + — r— a>»r« + air-Tr+
+ elc.
En développant les deux membres de chacune des équations qui précèdent suivant les puissances ascendantes de x ^ et comparant ensuite les coefficients des puissances semblables^ on obtiendrait de nouvelles équations dignes de remarque » parmi lesquelles se trouvent comprises les formules (Sj) , (38) , (5g) des pages 990 et 991.
Supposons enfin '(55)^ F(r)=d«''"^— acosér' + tf-*^',
« y h désignant toujours deux constantes positives. L'équation (5) deviendra
(56) #«'" — acos^r* + tf--'^' a= o ;
puis l'on en tirera , en adoptant les notations (45) , et désignant par n un nombrr entier quelconque ,
(57) *•'= ,^^w-, =±-j-(ce8<q=t/..Mn9)|/.. ,
ou , ce qui revient au môme ,
(58) ' . ■ r.=.^[co.(o=f:^)q=i/::.«(aqF-^)[. On trouvera par suite
( 5«7 ) Donc les racines dis réquation (56) auront pour modules les différents termes de la série
elc.
Cela posé, il est facile de reconnaître que, si Ton attribue au module p de la variable r une valeur infiniment grande prise dans la série
<«•) ay-m- m- m- -•
le rapport
(fiT)
F(r) e«''*-acosAr' + «-*'"
sera toujours iafiniment petit, quelles que soient les valeurs du quotient — et delà
P tariable as. Donc, en verlu de la formule (Sa), on aura, pour toutes les valeurs
possibles de a? ,
(6S) e"= («•" — 8costs'4-i5— '")<£,—
*-r ((•«'•' - acos^r'+^-«'-' ))
Si maintenant on effectue les opération» indiquées par le signe £ , l'équation (63) offrira le développement de rexponenlidle e'^ en une série d'exponentielles de même forpae» dans lesquelles la variable xc aura pour coefficients non plus la quantité s , mais les diverses racines de l'équation (56)« Si l'on fait en particulier b = a , l'équation (56) se trouvera réduite h
(64) €"" — acof ar» +«-•'•" = o ,
puis en posant, pour abréger,
on tirera de la fierai u le (63)
»=» (-i)«jy
-iVjpfsîn y- t/n C08 -^) - jYa;(»îû -5- + V^i cos -^) 14. i +1
"«^^^-^vv/n- âe^*^"+iv^rr
Nof (bIiï y - V^i cos y) tfw ^è\n ^ + i/"i cos -|-)
ir
OU , ce qui rerient au même ,
l 7; é-'*-acosa#* +#-«'" aa»*4 V 1 >•» i.a.3 j
# sin (^ + i^Ti» sin -j-) - -ÎV sio (zVi»sÎD ^) Ns 00s -^ «•-a«2Ycos4-+^*
isinfY-Na sin-^^-iVsinfiVaJSln y) -iYflPCOs-^ ^•+a#Zfcos4-+W*
"-' #cos(^ + 2Va?cos-J)-iYsin(2V«<M»-J-) -'Af^^îp --
#»+a*ZV»în4- + ^'
»cos^-^ -iY«cos-^ViVsin(j!Y«co8-^) iYoJsîny
*'-a«iVsin-^ + JÎY*,
H Importe d*observer qu'il n*e9t pas permis â'dttrlbncr aux constanles a ei b , clans la formule (6S), des valeurs nulles, mais seulement des valeurs très-peliies. Si l'une de CCS constantes s'évanouissait , si l'on supposait , par exemple , 6 = 0, le résidu Intégral, compris dans la fomiiilc dont il s'agit, aurait une valeur priaeipale indéterminée p et la série des résidus partiels qui le composent deviendrait divergente. Alors aussi les conditions énoncées, danâ le t.* théorâme ne pourraient plus être remplies; ot le rapport (62) deviendrait infini » lorsqu'on attribuerait au module .p do la variable r une valeur infiniment grande, et h l'anglo t , déterminé par l'équation (2^) » l'une des
deux valeurs , H , ou l'une de» deux valeurs 7^ , -4 — — .
3.* TitÉoft&HB. Soient t, $y cb trolt variabUs intUpendanUs , «I F(r) .«jm fonclion donnée de r. Si, pour des valeurs infiniment grandes; mais convenablement choisies, du module p de la variable r, te rapport
reste toujours fini ou infiniment petit, et fini seulement dans U voisinage <U certaines valeurs particulières du quotient — , an aura
(69) co.,«= l IMlM °""^ .
OU, ce qui revient au même»
{70) cossx = ¥[s) C^ . I K ■[, .
pourvu que l'on réduise le résidu intégral comptais dans le seèond membre de Ccquation (69) ou (70) à sa valeur principale.
Corollaire* En combinant l'équation (69) avec la formule (28) , on en conclut
(71) cos^x
.ùqïrs>^^f'f'ir^\(^J'f}ïd\
\SX = c> ». .
Exemples. Supposons d'abord' '
n désignant qne quantité po^itive^ Alors , si l'on attribue au module p de la variable r une valeur infiniment grande , prise dans la série
» -* iP 5:r 5ir yn
sa aa aa aa
et à la variable x une valeur réelle renfennée entre les limites — a , ^a, le rapport (68) , réduit k |a forme
^' sinar
sera toujours fini ou infiniment petit » et ne cessera d*étre infiniment petit , en demeurant fioi# que dans le cas où le quotient — di£[%rera très-peu de dzi . On aura donc , en vertu de Téquation (70) » pour des valeurs de x renferméea entre les limitei
p I cosrrp (76) co^a0 = cosaa O 77-1 rr- 1
ou , ce qui revient au mtaie,
'wm 3^0 5^0
CCS — cos — — cos — ^—
la- A
(76) cosax = aaasînaa)— -— + — - — •rrr^^'^ ^— + — ... i »
Si l'on prenait-, au contraire ,
(77) , F(r)=costfr,
on trouverait » entre les limites 0 = o , « = a ,
(78) cosa» = cosaa C 77-^ rr- ,
' ' *-r ((cosar))
ou , ce qui revient au niéfne »
ww - 5«^» -, 5ir0
COS — 3cos— r- Dcos—
fr--4a^
*• 9ir»T4«*«* a5ir«-4fl«*» '")*
(79) cossso = 4«^cosaa
Supposons encore (4o) P(r)=r sinar 4- ••cosar, v .
a désignant toujours une constante positive. Alors, si l'on attribue au module p de
la variable r oae Tàleiir mfinimwt grande , mais sensiblement disUncle de celle que foornit Téquation
(81 ) sin ar 4- ^cos ai* =t= o ,
et à la TariaMe m one valeur réelle renfermée entre les limiles ^^a, '\'a, le rapport (6^) réduit à.
sln«»ff'cotar
sera toujours fini on infiniment petit, et ne cessera d*étre infiniment pelit, en demeu-
r rant fini , que diyu le cas où le quotient — différera très-peu de d= 1 • On aura
donc » en vertu de la formule (70), pour des valeurs de » comprises entre les limites « = — -a, 0 = a9 ^
r 1 cosrd?
(85) cos«»= (sînas + «cosa«) O ,. . .j ,
^ ' \ I / ,.,, (( sm ar^rcosar))
ou , ce qui revient an même »
(84) eosM = {uaaê + soosa«) S -7 — >-. ^ > ■ > - ^
^ ^' V » / (s-r)[(a+r) 008 ar-aramar]
Dans la formule (84) , le signe S , placé devant le terme
cosrg
(# - r) lUfl'^r) cosar - arsinar]
indique la somme Ae% valeurs que prend ce terme , quand on y substitue successivement , au lieu de r , les diverses racines de Téquation (8i). Il est bon d'observer que cette équation peut s'écrire comme il suit
(85) tangar=~*r^
et qu'elle a toutes ses racines réelles [voyei le i.** volume, page SoiJ.
Supposons enfin '
F(r) = ««'"■ — aces^r» +«-«•• f
a et é désignant deux constantes positives. Alors, si Ton attribue au module p de la variable r une valeur' infiniment grande prise dans la série (61) « le rapport (68)
restera infiniment petit , quelles que soient les valeurs du quotient — et de la variabla
( 33^ ) œ . Donc , en veHni de PéqitBtioii (70) , od aiira ; pour tôotos- 105 valeiirt possibles de x ,
cosrx
(86) 008505= (e«'' — acosfcf» 4-4Tf'') C;--r-^ TT-^r; r rrxr •
Dans cette derDièro formulé, comme tint i'équciloÀ (fiS) , les ocostanies a el ( peurent être aussi petites que Ton voudra; mais il n'est pas peroiis de supposer quel*une d'elles s'évanouisse.
Si Ton fait en particulier b = a, %n iimm de la formule (86)
A^7; ^«'•-acoaflJ'+e-"' aa'T^ V * i.a /
po»'|iV^cos~r4-i/M a«~j I C0i<|fl^fp(cw-j-4/:rsin jj
"4- ^ a5'-(anfr-a#*)yC7 W-4- (ântr-as*)^/T
cos
)s| îVccf sîd y - v^ cos -^11 cos I ^05 f sîn y -h V^cos^
Qu , ce qui reviept au néffle ,
^ ' ««'- -acosd**-»"***'*'^ aiï**^ \ i.a y
— «•(« 4-« jcosfyVxcos— I
«^K^TT* <— s nnas^ 4" ^*^^
iVirsIn ^ -t N'sy^ -s-
Inn ^'')(* ~* JsinliVaîCOSjj
