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— — — ; r- \a +Ô /«n MToîsm —

, r \ô — e /cosliVxMn— ,

la valeur de N étant déterminée par Téquation (90).

Dan« les applications que nous venons de faire de la fonnoie (99), f (âB«7« ••• r) a été remplacée par des fonctions des seules rariables. as et r. : Mais il serait fiiciie d^assigner aux expressions ({x,jr, ... r) , F(r) une multitude de valeurs proprps à remplir» du moins enlre certaines limites» les conditions énoncées dans le théorème k", et tellenient choisies que f(ai, j, ... r) renfermât» avec as et r» d*aulres variables

y , z Ainsi » par exemple» on conclura sans peine d» lliéor6me dont il s'agit que

Téquation

(io5) (s'"'+«-''')c08sr — V-«c6865»^«-"")<l> 77^7? '1 .L-.rM^ -

dans laquelle Ht .6 désignent deux constantes posi(i?es, mais différentes de zéro, subsiste pour toutes les Taleurs réelles de as comprises ^ntre les limites x = — a » X = ^^ a « et pour des valeurs quelconques de j*

Lorsqu'à l'aide de Péqnation (96) ou (97) 00 a développé la fonction f(a), jr, ... 5) en une série composée de fonctions' de même.espèce « il est souvent facile' de trouver tine îafioHé d'antres séries sembkibles k la première » et que l'oq puisse encore coQsidéaer comme des dévelo|q>eaients de la fonction f (so ^j" »•••«) • En effet » pour y parvenir , il suffira de substituer» dans la formule (6) « non plus la valeur de v(r) que détertermine l'équation (aS)» mais celle que fournit Téquation (16), et de prendre pour ^ (r) une fonction propre k vérifier la condition •

Or cette condition sera remplie» si l'on suppose i»* que. la fonction 4i(r) conserve une valeur finie » pour toutes les valeur! finies de r » %^ que » pour des valeurs infiniment grandes » mais convenablement choisies , du module p de la variable r , le produit

reste toujours fini on infiniment petit 1 quel que soll le quotient — » - et fini seule*

ment dans le voisina.ge de certaines valeurs particulières du même quotient. Alors on n'altérera pas l'équation (96) ou (97) , en ajoutant au second membre le ierme

On peut donc énoncer la pro|>osittOB siiî vaotie. '

9.* TnioBÈiiB. Lu mèmu ehoêes éiant poêées que dans U théorème 1 .^, si ta finieiion ^P(r)« eanservani une valeur finie pour iouieê les vaUun finies delà variable r , est telle qtu » pottr des valeurs infiniment grandes , mais convenablement choisies » du module p de eeite variable , le produit (107) reste toujours fiai ou infinîtixent petit,

es fini seulement dans le voisinage de certaines Valeurs particulières du quotient — '

P on aura - '

ùUt ce qui re\yient au mémep

pourvu que dm réduieô êhaqu» réêtflià vUép^ol à «a. véUçut jarimirifmhf

CaroUairê. Keo D*einpéebe dd nupfoêw ijaé U fenetion ' ^(r)» ûotifÊiÉB iàm l« formulo (109) bi| (iio)» rebfeHde njet la Tirhble t» la quanlllé ai |t ^ rtealie que , dam le cas* où la foniiule (1 10} aubiiste. on n'allftre p9i caHd'fltarmafo^'M Jt iw* plàçani f^ (r) par le produit F(#) ^ (i») , «9 aorla ^*oq a eneer^

EmmpUê. Çopiaeront d*abord que Ton rMfiiae t{m^,*..r) h Time dei fonctiaai coir0, aiarvt Alor»« en déaigoani par a une eonflaole poiitiref paf b oi^o autre eooataBlâ cboiate aébiîrai wnieèt , ^ paaaot de pi^a

on lireni de la formale (106) » poup toiptei lea raleun de x reoferm^ei enMre jet limites «as — a, flBa^a»

(lia) c^ i.,ji T ■ \U^o, (ne) c/ Jiu .^i ' '\f~^f

^ ' ^ ((•toflf+roôiar)) ' » ' . V ((Waar+TCoiar))^ ^

et par eoméqiifnt 00 pourra aux é<|i|atiooa (8S) el {99) fubitituer lei itut auifantei (.,4) co»#a» r= (rin^i + >ço>a^) j^ (7-^ *) ((.;„, r^'rL.r)) >

ou t ce qui rÔTient au même , kt formulisi

(117) sin#9 =: (iip ai + «oos ai) S (——4'^) / ' > — r! *

dans lesquelles lés soaAmes i»diquées parle mgae S détient ê|re étendues k toales les racines del^q^M^oii (81). Si' l'on posait, au contraire,

f{r) = p*'" -T- a çosar • + «— ^' .

(Mg)

éIon » an détigMiit pftr « » ^ dw con$U|Di9t ^wlcoii^aes « et prenant fonction entière dei monômes

r, oosaf) cot^r, etc.»

on tirerait de la formule (106) , pour dea valeurs quelconques de as ,

^{r )Anra

aco8ar*-f«

et par conséquent pn pourrait» sans . altérer ^les équations (88) et (loa)» ajouter à leurs seconds membres les résidus compris dans les formules (1 18) et (1 19). Si » pour fixer les idées I on stq^poae f{r) =; ^ i la lormule (118) domsieaa

coa|iVai(cos^+i/Taîn^j| cos|;Va5fcos|-|/Tsîn|j | 1+i/tr i-y^

cosî^«fsîn^-l/^cos|j I cos|iiriBiain^'fV^:Tcoa|\ |

la Taletr de % ' étant détermbée par Téqualion (90) « Prenons enfin

f(%yff-0— «■'+f^"')^»nyi •* .F(f3[wsrV^iacoafrf:4.«-^'r/

a • ^ désignant deux oonitaUtes positÎTes; Alorr » en supposant toujours que f (r) re^ présente -une fenetion entière des monômes

r^ cosafi * cos^r^ eto... ^

on tirera de la formule (106) » pour toutes les râleurs réelles de m comprises '^a^ Jr^» 9^ poi>f des valeurs quelconques de y ^

lea

r >Kr)(#^'^^s-"'"*)cosry

Par conséquent Téquation (loS) pourra être remplacée par la formule