EXPRIMÉES PAR DES 1NTÉGRAI.ES DÉFINIES
Le résidu ialégral d*uue fonctioa f{r) de la yariable r peut être facilement déteiminé, doua un. grand iUHni>ce.de cm^ k l'jaide du^béorâme 3 del)i page «74» c'està-dire à il'aide de Téquatip^
dans laquelle ^ désigne la valeur dtt pf oduft
^/(rh&i.
correspondante à des valeurs iofimes réeUes^ ou in^gînairfs de cette variable. De plus» comme l'expresaion (a) n'est pas altérée » quand on y remplace r par — r , les valeurs^ infinies dont il est ici question » pourront être choisies de telle manière que leurs parties réelles soient positives. Donc , si Ton suppose
(3) r«cp.(450ST + |/r,8illT) ,
P désignant le module de r, et r un arc réel» il suffira» pour trouver ^, d'attribuer an module p des valeurs infinies » et à l'arc r des valeurs comprises entre les limites -^ — , -i.. — , .
Concevons maintenant que f{r) renferme» avec la variable r , d'autres variables indépendantes» âr, -y »... , et se présente sous la forme
(54a) ?(r] s i{x^T) , f(âp,^,...r) désignant des fonctions qui restent finies pour toutes tes yaleursfinies.de r. ^ ae changera en une certaine fonction f{i£)* ovt f{z^j,,..)
des variables x» jr, ... ; et Téquation (i) donnera
ou
Or, parmi les applications que l'on peut faire des deui fermules qui prdeèdentr on doit principalement remarquer celles que nous allons obtenir » en remplaçant ^BS fonctions f (îc,r) y f (cD^j^^.-.r) par des intégrales définies.
Supposons d'abord que Ton attribue k la variable as une valeur réelle qui surpasse une quantité désignée par 9» » en aorte qa*on ai4
et prenons d'ailleurs^
f (fi) désignant une fonction qui reste finie entre les limites de llhtégratîoni On tirera de la formule (4)
et par suite l'expression (a) deviendra
Concevons à présent que; poor des- vjaleura- infii|ies de r dont la partie réelle soit positive , le produit
se réduise à léro » et le rapport
n-ri
^ la constante e. Il est chfar que ces inAmes valeurs réduiront la différence (ii) au produit
(t4) -\cf{x).
Effectivement , pour démontrer cette assertion , il sofiit d'obsenrer que . si» dans Tintégrale
(i5) , f''f"^'-i^f{v^)dv^ ,
on substitue la valeur de r tirée de l'équation (5) , en attribuant au module p une valeur très-considérable, puis k Tare r une valeur comprise entre les limites — — ,
+ — » et faisant de plus
(l6) X — f&ssfr,
on trouvera sensiblement
= (cosT4-|/:7sinT)f(sD) / e ^ ^ 'dp, ou 9 ce qui revient au même »
(17) r r%-'-C'-^>/^(^)df* = f(a;).
Cela posé , on aura
et la formule (6) donnera
^^^^ ^ ((F(r))) =^--om. ^ ■
Ajoutons qu'en vcrlu du théorème 5 de la page 974 • l'équation (19) continuera de subsister, si , pour des valeurs infiniment grandes , mais convenablement choisies , du module p de la variable r ^ et pour des valeurs positives de cosr • l'expression ( 1 2) et la différence
restent toujours finies, on infiniment petites j mais finies seulement dans le voisinage de
certaines valeurr parlicuHtoes ilu quotieilt: ^— . Hemafqtions enfin qoe , si Pon désigne
par Cl , Sa deux quantités comprises entre les limites x^ , x , on pourra disposer de ces quantités de manière à Térîfif r Its équalîons
9^ ' COS[p(dP-dPp)smT-t]-COST ^^,
s*^^ ^ SiiCp(«-ap«)slOT^T]'fslpT ^,, .
et par conséquent de manière k vente la formule
p(â^«o)COST - ^ . . - 0(â9-â;«)CO«T , r / \ . 1 .
*^^ ' co8[p(«-«o)smT-T]-co8T --^ /— ' 8in[p(a?-«o)8inT-T]+sinT ^. . ' /^««; + V-* #({»)>
d'où il est aisé de conclure que, pour des valeurs positives de cosr, Texpression (is) sera finie ou infiniment petite » lorsque le produit
sera lui-même fini ou infiniment petit. On peut donc énoncer la proposition suivante.
ï .^ TBi&BiUE. Soièni f(r) a f(fi) de$ foneiionê dô r (f$4c f*« gmdemêm' rent finieê, ta premièrû pour touUê teêvaUmrê finies de r, et la êee&nde pour lu vmleurs de p comprises entre les limites
Soient de pluê e une conHantt diUrmtnie, F(r) une fonction quelconque de In variable r, et' p le module de cette variable , en sorte qu'on ait
r = p (coST «4- ^ri sior) .
5c, pour des valearê de p infiniment grandes, mais convenabU^nent choisies, vt pour des valeurs positives de cosr » Us expressions
restent toujours finies ou infiniment petites » et finies Hulement dans le voisinage de certaines valeurs particulières de cosr , on aura
pourvu que Con réduise le résidu intégral
ffrif'f^'-i^fMd^
(( F(r) )) à sa valeur principale.
Nota. Si l'on supposait prâclsémenl x=^Xo , le premier nembre de la fotaittle (ig) s'évaDouirait» et par conséquent» cette formule deviendrait inexacte. Ajoutons que , si les conditions énoncées dans le i.** théorème sont remplies seulement pour des valeurs de X renfermées entre certaines limites,. la formule (19) ne devra pas être étendue hors de ces limites.
Exemples* Soient
et
a désignant une quantité positive. Le rapport
se réduira généralement à la quantité — i pour les valeur» inliuiès de r dont la
partie réelle sera pesitive ; el , si Ton pose en conséquence c = — » i , les eipressioos (so) et (s fi) deviendront respectivement
(«3) »-r-trr-=-Tïr-r. (»4)
Or, il est facile de reconnaître qae, si l'on attribue an module p de la variable r une valeur infiniment grande prise dans la série
ir Sir 5ïf ^ir
(•i5) — » — » — » — » etc.. ,
ci ù cost une valeur positive , en supposant d'ailleurs ta variable x renfermée entre les limites Xo » cDo + a • chacune des expressions (s3) « (24) sera toujours finie ou infiniment petite » et finie seulement dans le voisinage des valeurs de t déterminées par la formule cosr = o. Donc» en vertu de l'équation (19) , on aura , pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites œ. » Xo 4* ^ »
puis, en faisan), pour plus de commodité,
a7r(4?-fi)
on trouvera
^rw=iy-7-f(.^)
ay(g-go) »*(x.jro)
« çosv.^fx— ^jrfv4- / p COS«v.f/cB— — jdv + etc...
(547) Si , dan* l'équation («7) , en poM «^ =>» o , a = «v , on aor» simplement
C08v./'(«-v)rfv4- / cosav./'(«-v)rfv4- I coa3v.^(a;-v)rfv-|-ctc... 5 puis , en prenant f(x) = i • on obtiendra Téquation connue
(3o) — = — + 8Îna) + — lînax-t- Y*"*^*"^®*^*"*
Si Ton poiait» au contraire»
f{x) = coâa? , ou f{x) = sino; , on trourerait succeêsivemeni
— coioB = — cosflB 4" -r •"O® "f" -^^ »"û »» + -^ sin 3» + ^ sin 4a; 4- etc. . . , a a 4 ^'^ 3*4 ^••'
— 8ina;= — sinie + — + t'COsx r- cosax--— T-co85aj-v^cos4£C — . .
Les formules (99) « (5o) et (3i), dont la seconde entrain^ [es- deux dernières , exigeât que la variable x reste comprise entre les limites o et avr. Elles deviendraient inexactes » si Ton supposait précisément x = 0 .
Soient encore
a désignant une quantité positive. Si Ton attribue à la variaUe r deS' valeers iu/inies qui offrent une partie réelle positive» et Testent sensiblement distinctes des racines de Téquation
puis à la variable x une valeur réelle cfmprise entre les limètes x« ,. x^^a ; le rapport
so réduira générakoMiU à la consiaDte e =b •-• i ^ umdti que iel exprefcio» (te) el (ss), savoir,
seront toujours finies ou infiniment petites » et finies seulement dans le yoisinage des valeurs de r qui correspondront aux facines de l'équation (Sa), Donc» en vertu de Féquation (19), on aura, pour toutes les valeurs de x renfermées entre les limites
J7 "" "^ iCo 9 ^ r^T SB0 ^" ^ #
^5^) ïïl^^rT)) =T/'f*)-
ou , ce qui revient au même^ *
(3tt)
le signe . S devant être* étendu, à toutes les racines de Té^uAtioi^ (Sa).
Si Ton prenait
6 désignant une nouvelle constante, les conditions énoncées dans le théorème 1 .** seraient toujours remplies» et Ton tirerait de la formule (19) , pour toutes les valeurs de x renfermées entre les limites x.^ x -f- ^ »
^57) l T^^TTô) = T^(^)-
Il suit de FéqualîM (87) qse Texpression
;i uue valeur indépendante de la <WM»taote 6 , ce qm lient A ce (fu'on a généraletneni
(Sg) ^ -:': r-. = 0.
( 549 )• Soient enfin
a , b désignant deux conitantet poêittrcp. Alors le théorème i.** donnera» pour toutes les valeurs do x comprises entre les limites sB = â;, , (B = Xo-H^^»
Au contraire I si» en supposant
F(r)=rs*'- — air 4- «-•'", on prenait
9(r) = s-«'' — a*r , ou plus généralement
ç(r)sa:«-«'-4.«-|-pr,
a, ^ désignant deux nouToUes constantes; Téquatlon (19) , réduite à Tune des formes
[s---+a+pr] r s'-C'-AO/'(p)rf^
ne subsisterait plus que pour des valeurs de x renfermées entre les limites x = Xo >
ConceTons maintenant que Ton attribue è la variable ai une valeur particulière qui soit inférieure à une certaine quantité X , en sorte qu'on ait
Alors » par des raisonnements semblables è ceux dont nous avons fait usage pour démontrer le théorème i.**, on établira sans difficulté la proposition suivante.
a.* THÉoftEMB. Sâienê r(f*)j et f{ft) des fbnetionê de r et de ft, ^ui de-
II' Année. 46
mcureni finiêi » 6» première pour touie$ lu vateutê finies de r, et ta seconde pour la rateurs de /i eamprites^ e^iêre les Umiiei
Sait de plus C wke constante déterminée , F(r) une fbnetioji quelconque de la variable * r, et p le module de oeite variable^ en sorte qu^on ait
r = p (oos-r -^ t/^ 'io t) .
Si , powr du valeur» de f infiniment grandu , maU eontenaUêment ekeitie» , et pour de» valeur» potitive» de .coft^,.,. ^ exprtêrien».
reètenS toujours finies ou infiniment petites, et finies seulement dans le voisinage de certaines valeurs particulières dS' , ùoêr, emmura
Hr) fy^'-''>rMdi.
(( FW ))
= -Cf{*),
pourvu que Con réduise le. résidu intégral
' (( F(r) )) à sa valeur principale.
Si Ton supposait précisément x^=:X , le premier membre de la foriwle (4^) te réduirait à zéro» et par conséquent cette formule deviendrait inexacte. Ajoutons qae, si les condilion94AoBoées dans le %i^ théorème sont remplies. seulement pour des vaienr» de X renfermées entre -oertakies limites^, la Ibrauile (46) se derra pas^ dire étendue hors de ces limites.
Exemples, Si Ton prend
a désignant une quantité positive ^ alors , en attribuant k r de Irès-gvandes yaleurt dont la partie réelle soit positive , on trouvera sensiMemeal
( $Si )
Var suite on pourra prendre C7 = i , et Ton tirera du théorème a , pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites x=zX -^a , x^=iX ,
ou , ce qai rerieat aumfime', ' '
(48) -^ r(af) =
puis , en faisant , pour plus de commodité ,'
• atr(fi-j?)
on trouver*»
7t{X'X) ^ aw(X-»)
« C08v.f(a54- — )rf»4" I * costv*/'la5+ — )rfv + etc;...
Soit encore
a déaigaiiQl uop oonilante poisitife^ Alors , si Ton pi^nd
on tirera de la formule (46) , pour toutes les yaleurs de ± renfermées entre les limites xr=zX — rt, aj = ^,
Soit eofio AloT» en tmiMDt
on trouren, pour toutes lu Talenrs da x ranfermiu enttv lea lÎButes m:^X. — s x = X,
f(r) déaigoint UDO fonctioD^entière de r, onobtieodra.aulieudet'équetion (5i), le* deuxTormulea
C<"+«tM /'■^•"'-««ri"'!'
<"> ■ <!^ — a.-.:^r..-n) — =TfW-
doDt cbâcone ne subiUtera plu* que pour dei raleun de x rcnferméeR unlre les limite» x^X — a, fE=:jr.
On peut encore déduire de* thâorème* i et s une ]irapo*Hiof> qui mérite 4'élre remarquée, et que noua allons fiiire connaître.
3.* TaioaSMi. Soient F(r) et f{x) deux fimctiom de r et tU x ^ui demeurent finies , la prtmièn pour toute* let valeurs finie» du modale i> delà variabU r, la teconde pour toute» tet vaUurt rielUa de x renfermée» entre les limita
Si l'on prend au contraire
( 555 ) x=zaiot x-=tX>X9. Cwiewom en 'autre que la fmeUan ¥{r) puisse être partagée en demx oafiw f(^)* x(^)« 9**^ demeurent finies eUes-^mémes avec Ut variable r, de telle sorte que 9 pour des valeurs de r infiniment grandes, mais dont U^madutes soient convenablement choisis, et dont les parties réelles soient positives, chacun des rapports
reste toujours fini ou infiniment petit, et fini seulement dans le voisinage de cer^
taines valeurs particulières du quotieni — » Enfin supposons chacune des quantités
Xo, X , ou ptutât la différence X^^x^ choisie de manière que les conditiovu cidessus énoncées ne cessent pas d^étre remplies, quand aux rapports (54) et (55) on substitue les produits de ces rapports par Ceœponentielle
cesi'à'dire, les deux expressions
Alors on trouvera, pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites Xo » X ,
?(r) f^, '■<">') fMdt.
(58) fix) = /, î— :: .
ou , ee qui revient au mime ,
pourvu que ton réduise le résidu intégral renfermé dans Céquaiitm (58) ou (5g) à sa valeur principale.
Démonstration. Si les conditions énoncées dans le 3/ théorème se trouvent remplies, il que l'on attribue à la variable r des valeurs infiniment grandes» mais dont les
modote* soient eottrenaMeoMiit ehobit » eldoBtlatpafliM téeUessobui positives «oioafeulement les expressioin* ^S6) , (67) , el » k plus ferle raison » les^eoK ptod.uils
(60} jtlLe'^'^"'^ (61) Jç(l/(«--)
seront toejolrrs finis où infimmeiil petits , et finis seulement dans le voisinage de cerlaines valeurs partrculières du quotient — ; mais on pourra encore en dire autant des différences
puiaqu'en vertu de réquatioio identique
(64) ?('-) + zW = F(r),
ces difrérencet sont éqoiralentes , au 8%ne prè«« la première à la fraction (55) . la seconde à la fraction (S4)> Par suite, le théorème i.* fournira l'équation
.tandis que le théorème a donnera
(66) /, iL!^ =z±f(x).
De plus, comme la formule (64) permet de remplacer, dan» les équations (65) et (66) , x(»') par P(r) — ?(r), ou plus simplement par — t(*'). et <f{r) par F(r). — xi"")' on plus simplement par — X (**) < on trouvera encore
et
Si maiBlenaDt im combine enta^^lles ^ par voie d*addittoB ^ i.^ les farmules (66) et (67} » 9.* t«9 fbfmdieii (65) 6l (6&) » on obtiendra préclMmenl tes éqoationi (5S} et (Sg).
Nota. Il est bon d*obaerrer qu'en égalant à zéro les rapports (54) et (55) » on obtiendra lés denx formules
desquelles on tirera -^^7 — 7* = — , ou » ce qui reyient au même ,
(6,, fl = ..
et
xW 0
De même , en égalant à zéro le* rapports (56) et (67) « on obtiendra le* équation»
• r(Jf-*.)
xC-»-) •
que Ton pourra présenter sous les formes
fC-n O x(»') O
et desquelles on tirera » en attribuant à r des valeurs dont les parties réelles restent' positives ,
xW o
( 3S6 ) CeU poié , pour MlUkife «ax coodttioiu inonoéM iaa» le 3.* ibéoréme . 3 biidn éfidommeot déeom|NMer /(r) oo deux foocUon* tellM que le rapport de b pcenîère ï la «eccDde, Mroir.
(73) ZW
devienne généralement, penr des valeurt infinie* de 1« variable r. infiniment grand ou infinipent petit , auivant que la partie réelle de cette variable sera poailive ou négative . et choiair enaoile la différence X — x,, de manière que l'eiprefaion
c'ett-à-dire , le rapport (73) moltiplié par l'exponeniielle e joaisse encore de
la ïûème propriété.
ExempUê* Soit d*abord
a déiigoant une constaote positive. Si Ton preod » dans ce cat ,
le rapport
Xir)
deviendra » pour des valeiiri iofiDÎet de la variable r , inCniment grand , ou infiniment petit , suivant que la partie réelle de r sera positive ou négative ; et » pour que le produit
^ (r) - r iX' «0 r(a - -Y+»,)
jouisse encore de la même propriété , il sera évidemment nécessaire que la différence X — Xo reste inférieure à la constante a , c*est*à-dire , que la quantité X , sa^ périeure à x^ , reste inférieure à la limite x^ + a. D'ailleurs il est facile de s*as* surer que , si Ton prend F(r) = c*'* — 1 , y(r) = e*r , x W = — > » X > Xo et < Xo 4* ^ » I®> conditions énoncées dans le 3.* théorème seront toutes remplies. Alor^ en effet les expressions (54) » (55) » (56) , (Sy) s'évanouiront pour des valeurs infioies de la variable r , ^i^t que la partie réelle de cette variable » étant positive , ne de^
viendra pas lensiblement égale à zéro; et» quand cette partie réelle différera très-peu de zéro ^ il suffira .pour que lea mêmes expressions conseryent des valeurs finies » d'attribuer au module de r des râleurs infiniment grandes prises dans la série (ft5)« Donc , en T'ertu du 5.* théorème et des formules (58) » (Sg) » on aura , entre les limites a; ==: a?o »
X = X ^ Xo ^ ût j
' nx
ou , ce qui revient au même , '*
Si Ton développe les seconds membres dé ces dernières formules , on obtiendra la suivante
puis y en posant a?o = o« ^=:a = 99r, on retrouvera une équation que M. Fourîer a donnée dans son premier Mémoire sur la théorie de la chaleur , savoir ,
(78) ,r/'(a5) = ^/^'V(,*)dp
/*3lf f^^9 {^%9
Soit encore
Alors» en prenant y(r) rrre**", xW = * • ^o tirera des formules (58) et (Sg) , pour lea valeurs de x comprises entre lès limites x = a?o» a; = A'<cCo + ^»
(79) A<») = iî^-^^^h;7Tr,, =-<Î:^'"
ou J ce qui revient au même .
(80) fix) =
puis , en posant Wo = o, X^=ar=zn, ou bien a?o = o, A^ = a=afr, on oltiendra les deux équations
(81) ~fip) =
j cos(a?-pi)./'(^)rfpi4- / cos3(«-p)./'(p)£^^-|- / cos 5 (« -fx). /•(;*) rfpi + etc. ...,
f^'cosf^fM d.+f^'co» ^m d, +/;''eo.iM.^(,) rf, 4. etc....
De même , si Ton supposait
a désignant une constante réelle , alors , en prenant (p(r) = e"', x('') =*'*' on trouverait , pour les valeurs de x comprises entre les limites x=ix,, x = Ar<a;»-)-«,
ou , ce qui revient au mdme »
(84) -!/'(«) =/*«*(-^/'(p)rfp
Celte dernière formule continue de subsister » dans le cas oh l'on remplace la constante réelle « par une constante imaginaire 9 -^ P^/T» ' » P désignant deux quantités réelles , et se divise alors en deux équations « savoir »
(85) -If (as) = i. r^e-c--/«>co8KaJ - rt -f (^ ««P +
3 a tb' «r
J «•<'-''>C08p(aJ-p).C08-îî^^f((«)rfH+ r*e«^'-''^cosp(x-p).co8^^^î^/'(^)rff.+..,
et
(86) o = — r^6*<*-''^8înp(x — pi).f(p)rffi4.
Soit maintenant
Alors , si Ton prend f (f ) = e*"" , x (*•) = — ^ > 'e rapport
xW a
deviendra , pour des valeurs infinies de la variable r , infiniment grand ou infiniment pelit, suivant que la partie réelle de r sera positive ou négative; et, pour que le produit
xir) r
jouisêe encore de la môme propriété » il sera nécessaire que la quantité X , supérieure à œ^ » reste inférieare à Xo'^^a, D'ailleurs il est aisé d'assurer que , si Ton suppose ^ (r) = e ""■ , ^ (^) = ' — ^ » -^ ' — ^o > o ©* < « » toutes les conditions énoncées dans le 3.* théorème seront remplies. Donc» en vertu des formules (58) et (Sg), on sura* pour les valeurs de as ronformées entre les limites x=Xo, x=X<Xo + a,
ou , ce qui revient au même »
v^Ly'-'''f<^)M '
le signe S devant être étendu à toutes les racines de Téqualion (Sa). Supposons encore
a et b désignant deux constantes positives. Alors» en prenant
X{r) =z e-^r — br ,
on tirera de la formule (58) , pour des valeurs de x comprises entre les limites x = £r^
