X := X ^ Xo "4" a

et de la formule (69)

fiix) = l

((«'"■-aAr+e-"')) ^ '

'Y(c) rff*

Si*, dans la même hypothèse , on prenait

f{r) = tf"- + « 4. pr , xW = »"•"■ — « — (P + «*)»• »

a , p détignant deux conttaoses arbitraires , la formule (58) donnerait

^i^i^H^MA

la valeur de x devant toujours être renfermée entre les limites x=Xo» x=^X'>Xo+(t*

Aux applications que nous venons de faire des formules (58) et (5g) , on pourrait en ajouter un 'grand nombre d'autres. Ainsi* par exemple» si l'on désigoe par a une quantité positive , par b. A, B des constantes quelconques , et par f(r)» ft(r) des fonctions entières de r, on tirera de la formule (58) , pour des valeurs de x comprises entre les limites a5 = 2Co»« = A"<ïDo + ^f

et , poar des râleurs de , » oomprises entre leé limites m=s:», , x = X ■^x.'^ia.

fix) = l

(^+r)(l»+r)#-'' r «'•C*-/0/(p)rfp (( (^+r)(B+r)««'--(^-r)(B-r)«— »•)) '

etc«

(( («*»'•+«-«'') cosAr+ a ))

Ces diyerses formula sonl fort utiles dans la solution des problêmes de physique mathématique, surtout quand elles sont combinées avec, celles qui se déduisent de la proposition suivante.

4«* TuioEâMB. 5(?îl f(£C»r) et f{^) deux fonctions de x,r et f&» qui demeurent finies, la première pour toutes les valeurs de x tt de r , la seconde pour toutes les valeurs de ^ comprises entre les limites ft = «o » f* = ^ > a?« • Soient de plus F(r) une fonction quelconque de la variable r, et p le module de cette variable* Si, pour des valeurs infiniment grandes, mais convenablement choisies, du module P , oliacun des produits

FCr)

reste toujours fini ou infiniment petit , et fini êeulement dans te voisinage de eertainu

r valeurs particulières du quotient —, on aur<t

(loo) c/'" ^"^' t/'f? 'V'iV'" """^ ^Ot

pourvu que l'on réduise U résidu intégral

à sa valeur principale

Démonstration. La valeur géDérale de r ponyani être exprimée » à l*aide du module p et d'un arc réel f-, par une équalioa de la forme

!• = p (COST + l/-i ^ÎD'f) >

on trouvera » par un calcul seoiblable à celui dont nous nous sommes servis pour élabllr la formule (ai) »

, . . s ^ cos(T-fp«oSinT)-« ^ C08(T+p^sinr) ^.^ . (loi) { = i^-î: L-i- i E L.^(ç,)

• •^''^^^'^♦m(r+p*oSÎiit)*s"^^^'%lu(r+pjrsîor) ^,, ,

s, , s, désignant deux quantités comprises entre les limites œ,,X; pais l'on en coii- «tura

(lOS)

— •î^!2^--'X[cos(T+pXdfev)+|/^i sin(«+p;f sinr)] [/•(Ç,)co8(T+pJirsiiiT)-|/5 f(ÇO*i«»(T+P-ï»M]

Cela posé , H est clair que , si les oon^tions énoncées dans le ibéoréme 4 sont remplies , le produit

restera toujours fini ou infiBÎment petit pour de très-grandes valeurs du module p de la variable r » et fini seulement dans le voisinage de certaines valeurs particulières du

quotient — • Par suite» le théorème a de la page 258 entraînera la formule (loo).

Nota. Si les conditions énoncées dans le théorème 4 so trouvent remplies seulement pour les valeurs de m comprises entre certaines jiff»ites^ par^MempIe^r Qntre les limites as = Xo » SB = A^ t la formule (loo) ne devra pa^ être étendue hors de ces limites.

Exemptes. Soient d'abord

F(r) = s*^r(r) — «*C*-r)f (5 ^r), et

ç(af,r) =^r^-r<*-»*.> ^

a désignant une quantité positive » b une constante quelconque , et f (r) une fonction entière do r. Alors, si Ton suppose la variable œ renfermée enlre les limites «o » A^ > «t X — flCo < a f les expressions •

rempliront évidemment les conditions énoncées dans le théorème 4* Donc» en vertu de ce théorème , on aura , entre les limite^ œ^^Xm» « = -<¥<; îp^^-a.

(io4)

Si l'on combine cette d«nu>re ^qwlien airee la f<H>Bi|ule (94) par voie d'addition oâ 4* toQstraction , l'on obtiendra les deux sutrantes :

(io6i m—L-

((.■'r(r)-,'C-')f(4.r))) .'[,'<—.>. ,-'(—J] r(r) f^.-"l—.>rM if

«.■'f(r)-,-<'-'!r(4-r))) Si , pour fixer les idées , on prend

4 = 0, f(r) = i, lei jqoatioDS (io5) et (106) doanen>Dt

r(«)=i » -Ml •

ou, ce qui revientau mSme,

('«9) m=\^^nMf-

al a*/]r, a a*/X( a

ÎMQ i i- I Bin— ii-— i- /^{/*)</(»+8ia 1 i-J aiD — Ai-— i-nf)<'f+-

puis > CD posaot Xt = o , X=s=a , en eo déduira lea formules coDouea

dans lesquelles le signe S s*éteDd à toutes les yaléurs entières , positires , nulles ou négatives de n. Ces dernières formules, qui subsistent pour les valeurs de x renfermées entre les limites x=so , x = a , peuvent être employées avec avantage , la première dans la théorie des instruments à vent et dans celle de la propagation des ondes à la surface d'un fluide que renfermerait un canal terminé par deux plans perpendiculaires à son axe , la seconde dans la théorie des cordes vibrantes. Si , dans les mêmes formules, on remplace la constante a par Tunité, on obtiendra deux équations qui pourront s'écrire comme il suit :

(ii3) A*)= / Art^f^^"* * Jcosnir» / cosn7rfi./*(pi)rffji> ,

{114) f{x) = % s^ <9Ïnnwx I 8ionirfi./'(f^)^P( »

et dont la seconde a été donnée par Lagrange dans le tome III des anciens Mémoires de Turin. Si Ton suppose, au contraire, a = if , on trouvera, pour des valeurs de x renfermées entre les limites Oj k ,

(ii5) fef{a)=z I /((*)rfft4"^ ^ \co$na I cosnf*. /*(;«) rfpi > ,

(116) nf{w)zz=a ^ )iânnm j sinnfi./'(|ui)^p> .

Les deux équations précédentes aont contenues dans le Mémoire déjà cité 'de M. Fouriér, pages 3o8 et 3i i. Mais on doit observer que la première avait été donnée par Eulcr dans un Mémoire qui porte la date du %6 mai 1777, et qui se trouve imprimé dans les Nova actaAcadùmiœ Peiropolitanœ pour Tannée I7g3. Quant à Téquation (1 16) , on peut la déduire immédiatement de la formule {114) donnée par Lagrange, "en remplaçant, dans cette formule» la /onction f{x) par /(«O?) , et les variables x, it par les rapports

— , — . On déduirait de même les formules (111) et (112) des équations (11 5) et ( 1 1 6) ^ en remplaçant la fonction f{x) par / 1'^] , et les variables 0 , fi . par

dX OUL —

les rapports — » -^. Remarquons enfin i.^que, pour obtenir Téquation (116), il

suffit de substituer la fonction f{x) à la fonction dérivée f{x) , dans l'équation (1 1 5) di^Térenciée par rapporl à la variable x , et combinée avec la formule

IJ.* ANKÉK. 48

J C08nfi.f((x)rff« = f(fi) -i^ — ~j6mnt^.J{y)dit,

de laquelle on lire

a."* que» si l'on ajoute, membre h membre, les équatîoos (ii5) et (ii6), on obtiendra une aulrc équation comprise dans la formule (77)*

Lorsque, dans les équations (1 lâ) et (116), on prend successivement f{x) = 1 , f[x) =x , f{x) =x* , etc.. , on en conclut, pour des valeurs de x renfermées entre les limites o , ?r ,

cosa; + — 3r- + — 5; !--= g •

cos5â?

cos 5x

ir(ir-a«)(it'+air«-adP')

etc.

etc..

On pourrait arriver aux mêmes résuftals , en partant des formules (76) el (74) de Iff page 3 10. En eflet, si Ton pose, dans ces formules, a = £a-^9r , on en tirera, pour des valeurs de x comprises entre les limites os = o , a; = 9ir ,

(120) cosîbH h — = 4- — ~ h-,.

, V • I siii2â; , stnSâ? . sin4« .

(laji sma5 4 -— 4--- -t- ----, !-••,

r ireos(fl?-n)g / / I \ \

:Mi4-t

^%mA'tn

( 367) puis y en remplaçant x par sa) , on trouvera , pour des yaleurs oe x reiiferioées entre les limites e , fr , •

sînaâ? 8În4« ^ ' sInBa? ^ . r ^»în(^^-fr)« / / i \\

Si maintenant en combine la formule (120) arec la formule (laa) , ou la formule (tai) avec la formule (isS), on obtiendra les suivantes :

, cos5:r , cosSâ? . r cesfarp-ir)«-a*'"C08fa?-ir)j; // 1 \\

, -. . . sînSa? , sinSa? , P sîn(aa?-7r)«-a»'*+*sln(ir-.ir)« // 1 \\

qui subsistent pour des valeurs de x positives , mais inférieures h n, et qui. étant développées, reproduisent les équations (118] et (iig). Il est bon d'observer que la première des équations (ng) cesse d*étre exacte, quand la variable x devient précisément équivalente à l'une des limites o , n. Mais, si, dans la même formule, on attribue

successivement à x les deux valeurs — , —, on retrouvera deux équations données

par Leibnilz et par Ëuler , savoir , *

Lorsque, dans les équations (1 16) et (1 16), on prend f{x) = e", on en conclut , pour des valeurs de x comprises entre o et ir,

(126) e" = — (e*^-i)[ — + — 7-+ — ^+— - — (^ +0Hr7~+-"Tr" + -'" '

f 568 ) Sï , après «voir développé les deai meuibn» des formules précédentes luirant les puissances asceDdanles de a , on égalait entre eux les coelIicieDU des puïssBaces semblables, OD rotrouverait les équations (ii8) et Ciiy)> avec celles que comprenDent Ici formules ('iss] et (isS).

Lorsque, dans la formule (iiS) . on pose (i= i«, et f{x) = cos' — , « dé«gnant une quantité positive quelconque, on en conclut

(laS) — cos'— = / eos'*.ci> + 9 8 cotnoi / eos«a*.ces'«(f«f .

D'aillours, j'ai prouvé , dans le Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limite) imaginaires [page 4o}> qu'on a généralement, pour des valeurs positives de s et de i.

r('-fO

On aura donc par suite

(i3o) / cossn*.cos'v.(f> =

. r(.-n) .(.-a)...(.-.»tO

et l'équation (isS) donnera, entre tes limites fB=:=o, x^=w , on m£me entre les limites a; = — « . as = w ,

puis, en remplaçant a par %x , on trouvera, pour des- Nlears naménques de .0 plus petites que — ,

Si» dans la formula (i5a), on pose successivement s=:sm» ^=9m-— i^ m désignant un nombre entier quelconque , on obtiendra les deux équations

V ^^v i.5.5...(am-i) ( 1 , m , m(m-0 . 1

(i33) cos""a8=a' ^ . J^ ^^ T'^^^TTr^^^'^r^.i.Nr^/ ^ co*4g+»>4 , ^ V ' a.4.D...am I 2 m+i [m+ij(m+a) -» ■ t »

. ,^ .« 4 t-A-S-^fam-a) { I ^ am-i , (am-i)(am-3) , .

(1.34) cos*'""*»=- — ^^ — ) rt ï cosaap 4-5 fj — =rCos4«+...

^ ^^ « 1.3.5... (am-i) ( a» ^ am-i-i (am+i)(am+3) ^^^

qui fournissent les développements de cos""a: et de cos'^'~''x en deux séries dont Tune s'arrête » tandis que Tautre est composée d'un nombre infinli des termes. Si Ton fait» en particulier m = 1 ». m = a » etc... , on tirera de Téquation (i33)

cos*x=: — + — cosaa»= — (i4»cosafl9} a a a '

cos^œrs f^ 4. -|- cosax + -|j~cos4«] = Y(3+4cosaa}+coa4a;) »

^ etc

et de Téquation (i34)

4 i 1 cosadp eos4â; , cosââ? cosSio?

COS0=>: — { 5 -— h' , ■ +

ir ( a • 1.3 3.5 5.7 7.9 '

Cl 36)- < . a4 ( 1 , eosarp . cos4a; cos6« . cosS»

^ ' lcos*a5= — 1 + — r-r — \r — ;ni — — "«-r '+-^

*- ir j a.9 ' 1.3.5 1.3.5*7 3.5.7.9. 5.7.9.11

ta.

etc.

Ajoutons que , si Ton prend^ a? = o » on- tirera de- la formulé ( 1 3^) et des formules (1 36)^,

;i4 go

BeTflnoni nMintenont & la fonàtilfl (109). SI 1*911 y snppose

a désignacl toyjours une quantité positive, oo obtiendra l'équation (139) coa'a =

Ki-)] K4^-)K^-) H^«)K^-)

([ui subsiste pour les valeurs de x comprises entre lea liniites aj = , x = — ,

et pour des valeurs de a positives, mais iuférieured h 9. Si l'on prenaft pMci«éin«Dt a=:a, l'équation (iSg) coïnciderait avec la formule (iSa). De plus , si l'on combiae l'équation (iSg) avec celle que l'on en déduh, quand on remplace « par «a, od

trouvera, entre les iHoites a=;0, a = i ; a= , x = — ,

;i/,o) cos;'a:=»-j7^r(s4->))— tiï:

ï-Pr^+' î-^+O r

Lorsque, dans cette dernière formule, on pose successivement 11=1, puis a^=iin ^ et a:= %m — i , m, dé«ig«dnt un nembr» «nlier , oti eq ç^ftcinf,: '

cosa; +

(r^fjibj-"""" + iJ'n.\%il'^) ""'"+■■; i •

ir 5.5..,(am+i)

coê""a5 =

, am-i - , (am-i)(am-5) .

COS« A r- COSOOÎ +-3 rr-T rr- COSOOÎ + ... / .

C08*'"'"'fiC =

i.5...(am-i) I . m-i (m-i)(m-a)

On aura , par exemple , cnlre les limiles a; = — — , a? = —

4 ( cos3«; , cos5«

1 = — {cosa?

oos^as =s= —

COSd?

3 ' 5 G0s3â; ccw5s

cos7i» coflQo; 008 7^; codQ^

et , pour une valeur quelconque de x ,

C08X = coso; f

cos'â?=: — (co8« + -5- co§5») = -7- (3cosa5 4-cos5a) , 4 \ 3 / 4

etc..

Si Ton prend x = <y, les formules (i4i) et (i44) donneront

. et

.-I , C*-0(^-g) I ^,-. *+» fr/^'^MT

'^1+ï^ c*+*)(*+5) ^•••"* r{^+o-L l a yJ '

•tC.r...

( 57t ) Enfin , 81 , dan8 la formule ( i Sg) » on pose « = — , alors , en ayant égard à Téquatioi» connue

(i48) r(«,) = 9»'-,r"^r(«)rf»+i-) ,

on trouvera , entre les limites » = — — , cd = — ,

<'^9> (t) T(7Tô'"' * =

X a<+i 5« (si+Of^tf-i) 5â0 (aj + i)(aj- i)(a5-3) yj;