Th£ob£1I£. On a généralemmit
( io3 ) b
pourvu que Can réduiâe CinUgrak relative à x à sa valeur principale.
Sapposons mainlenanl que la fonction f ( x +7 i/m) s'éranouiMe pour a; =: d: 00 , quelque soit jr. Alors , si Ton prend
». = — 00, 2r=oo, jro=«> l^=Af
rinlégrale relalire h ^ s*évanouira dans la formule (11) > et Ton se trouvera conduit aa nouveau théorème que nous allons énoncer.
4.' Th£or£iib. Si la fonction /{x-^-y^T^ s* évanouit pour x = ±oo, quel 9ue mt y, on aura généralement
pwfvtt 9 tt6 Cintégrale relative à x soit réduite à sa valeur principale,
Oa établira , sans plus de dii&culté , la proposition suivante.
5/ TaioBBiiB. Si la fonction /(^+^t/^) f^* évanouit pour ^ = ±00, quel f ue toit X 9 on aura généralement
(5o) /^ [/(6+:ri/n')-/(«+n/^]iij'=«»r^*((/(»))),
ptmrvu que f intégrale relative à y soit réduite à sa valeur principale.
Concevons à présent que la fonction /{x'^^y^T^) s'évanouisse, i.* pour sB=dboo , quel que soit y; s."* pour jr=oo, quel que soit Xi et soit ^ la limite vers
laquelle convoite le produit
(50 (a^+yi/M)/(«+jv/^)
pour des valeurs croissantes de y ; alors , en désignant par 6 un très-grand nombre , 00 aura senstbfetnent
x-^-bx/Ti
puis ^ en réduisanl chaque intégrale à sa valeur principale.
Cela poséj on tirera de la formule (2g) , en attribuant à la quantité a* une raleurnulle 9 et à la quantité 6 une très-grande râleur».
En supposant y dans Téquation (32), la constante ^ réduite à zéro, on établira le
théorème suivant.
6.'Th£orêm£. 5Ma/bnc;i<7n yC^D+JV^HT) ^'évanouit, 1.* pour «=±00, quel que soit yi 9, '^ pour yz=oo, quel que soit x, on aura généralement
pourvu que l'intégrale soit réduite à sa valeur principale , et que le produtL
(^ -f"J'|/^)y^(^+yV^) s'évanouisse avec la fonction ^(«+71/^), en vertu de la supposition y-rzzca .
On pourrait aisément revenir du 6.* théorème à la formule (32). En effet, si la supposition / = 00 réduit le produit (3i) » non plus à zéro , mais à une quantité finie ^
la même supposition fera évanoui^ le produit
(x+ji/TT) /(x+jv^) — ___ =(a.+^v/n)/(«+j^/tr).-/-
On aura donc, en vertu du 6.* théorème,.
y** /(a>)--jrf«=»ir*£,*///(«)__jjv>:r,
puis» en réduisant chaque iatëgrale à sa valeur principale, et remplaçant, en conséséquence l'intégrale
par zéro , on trouvera
(34) J /(«)rf«=«»*<£-*ff/(0-7))v^.
Comme on a d'ailleurs, en vertu des principes du calcul des résidus [voyez les pages 1 1 et suivantes J
il est clair que la formule (54) reproduira Téquation (Ssr)
Ed supposant, dans les équations (a4) et (26) , a = 00, puis, appliquant à ces équations les raisonnements par lesquels nous avons déduit le 6.* théorème de la formule (29) , on sera immédiatement conduit à deux propositions nouvelles , que nous alj^à* énoncer.
7/ Th£ob£X£. 5s (a /bnclûm y(£B+Ji/^) f^ évanouit, i»^ pour x=rcir, quel ^utsoU j; s.® pour ^ = 00, quel que soit x, on aura . .
f{x)dx = s/T, I fij\r^)dr+2n l ((/(*) ))V/T. '
pourvu que chaque intégrale soit réduite à sa valeur principale , et que h 'duit (3i) s évanouisse avec la fonction /*{x -Hj^V/-^) ^^ vertu de la supposition ^ ^oc •
i.^ Tnio^iUB. Si ta fonction /"(aJ+JV^) 9 évanouit ^ i,** pour 05= — 00, quel ^uesoit j; 9,^ pour jr=roo, quel que soit x, on aura
pourvu que chaque intégrale soit réduite à sa valeur principale , et que le produit (5^ 9' évanouisse avec ta fonction y(»+Ji/T) en vertu de la supposition ^ = 00»
( «o6 ) Lorsque les formules (35) et (36) subsistent simultanément , en les afoutant Tune à l'autre , on reproduit Téquation (33). De plus , si , dans la formule (35) , on remplace la lettre jr par la lettre œ , on obtiendra la proposition suirante.
g.* Tnio^^UB. Si ta fonction /(aJ+JV/n*) s*évanouit , \ • pour a? = oo, quel que ioit y; i.* pour jr = oo , quel que soit x , on aura
pourvu que l'intigraU soit réduite à êa valeur principatô, et que le produit (3i) s*4vanouiêse avec la fonction f{x +Ji/n') tn vertu de la supposition j = oe .
Comme on peut déduire réquatitn (37) de la formule (28), en prenant a = o, 6 = 00 , il est clair que cette équation subsiste dans le cas même où la fonction f{x) devient infinie pour x = q .
On pourrait présenter les diverses équations que nous venons d'établir sous différentes formes distinctes les unes des autres. Ainsi , par exemple» on reconnaîtra sans peine que l'équation (33) peut être remplacée par Tune des suivantes ;
*^ o a « • co
On déduirait aisément des formules qui précèdent les valeurs de presque toutes les intégrales définies connues » et d'un grand nombre d'autres , spécialement de celles que nous avons considérées dans le Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires [pages 61 et suivantes}. Ainsi ^ par exemple » on tirera immédiatement de la formule (38)» en désignant par f(ftr) utiè nouvelle fonction de », et phr r une constante positive ,
ao . 00 0»
t{x)-î{-s) dx f {(((z)
f ii^i±^^=../ j(^))^.
00 00 ao
D'ailleurs, si la fonction f(^+7V^) ^^ devient pas infinie pour des valeurs positives de ^, on aura» en vertu des principes du calcul des résidus [voyez les pages 1 1 et suivantes ] »
-»*^o \\z*^r*)) '^(2+rV'r,){(«.rv/r.))— a|/r, .'
*r«>// «f(r) \\ r xf(z) f(rt/r.)
.a»<^o lU'+r»jj-^(*+rvA)((z-rt/r.))- a ' On trourera donc défiailivement
La formule (40 suppose seulement que la fonction f(iD+7V^) CMiserre une valeur finie, 1.* pour a3 = d=ao, quel que soit jn s.* pour y = to, quelque loit X. Les formules (4o) et (As) supposent en outre que f(sB+j'f/!7) s'évanorit pour y = co. Si cette dernière condition n'était pas remplie , on devrait aux iormule* (4o) et (4a) substituer las deux suirantes
( loS ) qui se déduisent Tune et Taolre de l'équation (3a) , et dans lesquelles $ désigne la
valeur de {[x + jV") correspondante à y =00 .
Si, dans les formules (4o) » (4i) » (A^) * (43)« (44) > on remplace t{x) par Tune des fonctions
aap|/.i a-i bœy/Z^ a0
€ , (— a5|/r7) e , e etc...., a et 6 étant des quantités positÎTes , on obtiendra, les équatioQS
ao r«W
cosaa; ; = -«-•', I smaaî— —ï ^-e""',
y"»00 x'-*sm bx\ ; — =~r«-*e"*'^ ,
(48) r «-^•*'sin(tfsin6aî)^=~(c'— I),*
ao
e*~»*'cos(asîn6a5)-r— 7— = -«•• ',
^a«ot*«A;
sin(asin6x)— ; =—(6"^ — 1) , etc..»
Les formules (46) » qui ont été données pour la première fois par M. Laplace , el dont la seconde comprend comme cas particulier l'équation (45) » sont elles-mêmes comprises dans la formule (47). Ajoutons que cette dernière suppose le nombre a renfermé entre
* Les Taleon trooTées pour Tiatégrale (48) et pour la féconde dei intégrales (49), dans le Mémoire cor Im intégrale! prises entre des limites imaginaires , sont incomplettes et doivent être remplacées par ceUes ^e noos donnons ici. Cette erreur prorient de c6 ^'oq airàit employé ^ pour déterminer les 4cuz intégrales dont 1} j';igit, les formules (4o) et (4>}# su lieu des formules (43) et (44).
( »09 ) les limites 0,9, et qae , si Ton 7 fait 6 = o , r = 1 , on obtiendra une des intégrales les plus remarquables données par Euler , savoir»
Si , dana l'équation (37) » on remplaçait successivement {{x) par les deux fonctions
aB(aj*-|-r*)
OD en tirerait
(Si) /. dx7=^o.
mr
/:; X • cos«â?-s-«* ds ^ ^ ^* . ar
\ûj) I — ^a sm— 7=-
d7 ic*-|-r* ar* |/î
Noos développerons dans d'autres articles les nombreuses conséquences des formules ^nérales auxquelles nous sommes parvenus dans celui-ci ; et nous allons montrer» en finissant, comment » à l'aide de ces formules , on peut, dans beaucoup de cas » déterminer le résidu intégral d'une fonction donnée fi^), c'est-A-dire » la somme de tous les résidas qui correspondent aux diverses racines de l'équation (6).
Concevons que la fonction /(s) s'évanouisse pour des valeurs infinies réelles ou imaginaires de la variable z, c'est-à-dire, que la fonction /(<c+JV^) s*^^''" noaisse, i.* lorsqu'on suppose a9 = dboo, a.* lorsqu'on suppose j = zbco ; et admettons d'abord que , dans Tune et Tautre bypotbèse , le produit
se réduise à la conatante g. On aura sensiblement, pour de trè^-grandes valtmrs nomériques de » ou de j,
(«+yi/n)/(flj+rv<^)=/. /(«+7V^ = — ; — -'
Donc alors, si l'on attribue aux quantités x.^yiVX» ^. ^ très -glandes valeurs nomériqnes , en supposant x, et j^ négatives , JT et Y positives , le premier membre de la fomjinle (11) se .confondra sensibltiVkei|t «vec la différence
(53) \n I {ttt — : r^rWj'— / ; rfl^^
TT / ]dy— I -
D'ailleurs « en vertu de la formule (5i) de la page 94* celte même différence se réduit à
Donc , si l'on prend
Xo = — 00, jr=oa, y. = — «o, y=oo,
la formule (11) donnera
a„^4/n=air l ((/(*) ))i/n' ;
