OD

que l'on peut écrire plua simplement comme il suit

Si Ton a ^=0, ou, en d'autres termes, si le produit ^f{z) s'évanouit pour dea valeurs iofiniaa réelles ou imagioaires de la variable z, f équation (55) deviendra

On pourrait aisément revenir de la formule (&6) à la formule (55). En effet, lorsque, pour des valeurs infinies réelles ou imaginaires de s , le produit ^/{i) se réduit nim p)u$ 4 zéro , maia à une quantité finie ^, t) est clair q«e , pofur ces mêmes

valeurs de z, le produit

«'év«fQ9uifU^ Qn a iwffi mIots^ ev vertu i/d la fqrpu^e (56) , . .

0 t •. ' kt • i

l(lf(»)'^^jf^<»f

( m ) on , ce qui reviâBl au mfiaie.

l{{fi')))=lr--- = ^ '

La formule (55) cesserait d'être exacte, si la ralear du produit

correspondante à des valeurs infimes positives ou négatives de la variable x ou jr, changeait avec le signe de cette variable. Alors il faudrait h la formule (55) substituer fane de celles que noos allons indiquer.

Supposons» en premier lieu» que» la fonction f{^) étant nulle pour des valeurs infinies réelles ou imaginaires de z, le produit (3i) se réduise h la constante ^^

pour X = — 30 , et à la constante ^ pour a; = oo . Alors , en attribuant aux

quantités — a et -f" 6 de très-grandes valeurs positives , on tirera de la formule (29)

pois, en remplaçant les intégrales par leurs valeurs principales,

Supposons, en second lieu, que la fonction /"C^) étant nulle pour des valeurs infinies réelles ou imaginaires de z % le produit (3i) se réduise à la constante ^'

pour j=:.— -00, et à la constante ^' pour yz:=.^. Alors, en attribuant au

quantités — a et + 6 do très-grandes valeurs positives » et reoiplaçant les intégrales relatives à y par leurs valeurs principales , on tirera de la formule (3o)

Si l'on avait ^ dans la formule (£7), ^,= -— ^.^ ou, dans bt formule (58) /'=— -^^ on retrouverait précisément PéqMtioii (56). Ea conséqoence, on p^feit énoncer la proposition suivante.

lo.* TflioBÎiiE. Si la fanciion f{z) $* évanouit pour du valeurs infinies réeUes ou imaginaires de ta variable z , le résidu intégrai de ee$te fonction sera nul , ou , en d^ autres termes, on aura

pourvu que le produit (a5+7i/M)/'(® "t"7i/^) conserve une valeur finie pour des valeurs infinies positives ou négatives de Vune des variables Xpjr, et qu'il change de signe, sans changer de valeur numérique, dans le cas ou la variable dont il s^agit passe de Cinfini positif à Cinfini négatif

Ce théorème» en raison de ta généralité » et des nombreoses applications qo*on en peut faire» parait devoir mériter l'attention dea géomètres. Si Ton remplace la fonc-

tion f{z) par le rapport , la formule (56) donnera

et l'on déduira facilement du théorème lo une proposition nouvelle dont voici l'énoncé.

11.* Thêoeêhb. Si la fonction f{z) conserve une valeur finie pour des valeurs infinies réelles ou imaginaires de la variable z , on aura

(H) /(-) = i «Zaï ,

pourvu que la fonction f[x 4.^^:7) change de signe, sans changer de valeur numérique , lorsque on passera de la supposition x = — 90 , à la supposition x = x, ou bien de la supposition j = — 00 à la supposition ^ =: 00 .

Si la fonction f{x + JV/m ) ^ réduisait, pour x = — 00 , à la constante ^^ ,

et , pour x = 00 , à une constante ^ différente de — ^ , alors il faudrait à la

formule (Sg) substitoer l'équation

qui se déduit immédiatement de la formule (57).

De même , si la fonction /(ce + Jt/-î) ^ réduirait pour j = :— 00 à la constante f, et pour 7=00 à la constante g" difi^nto de —f, il faudrait

à la formule (5g) substituer l'équation

( uS)

qui se déduit immédiatemeat de la formule (58).

Il est important d'observer que les équations (54) » (56) et (5g) s'accordent avec les formules (65) » (64) et (57) des pages as et a5. La seule différence consiste en ce que, dans les formules dont il >*agit, on supposait la fooetfou /(s) réduite à une fraction rationnelle.

Nous avons déjà remarqué que Téquation (69) fournit le moyen de décomposer dans tous les cas possibles- une fraction rationnelle en fractions simples. On eà déduit avec la même facilité un grand nombre de formules dont quelques-unes étafent déjk connues , par exemple , celle qui sert à développer en série la cotangente de Tare x . On tire en effet de l'équation (Sg)

cotx

COSS

(j?-«) ((sin^)) X W'^T a?— air a;— -Sir

•+»~ — + — ï h ■ , ,''' + etc...,

et par sdite

(69) cotx

= - — SX j— — -4-—— 1 4. etCi... I

X |ir»-s* ' 4ir*-a?* Oïr'-a?» ' )

Oq trouvera de même , en supposant a<it.

cos as sinirxp

smad; sinird?

-iCr

cosa^

1 t^^i cosa

{X't) {[sïaicz)) ir» ' ir I 1-a?*

cosaa ^ cos 5a j

sma^

(«-«) ((sÎQir^)) ir

sina asinaa SsInSo \

i-flp* 4-«* 9-«" *** j

Lorsqu'on suppose précisément a =â ir , l'équation (6S) continue de subsister , tandisque la formule (64) devient inexacte. Mais alors, pour développer la fonction = 1 .

sioirtf

il (ant employer l'équation (61) » au lien de l'équation (59) , et » comme on a» dans ce cas, $'z=i\^ ^'= 1 , il en résulte que le second membre de la formule (64) doit

être augmenté de la quantité =1 . Or, en opérant de cette manière, on

obtient ^ectivement , à la place de la formule (64) , une équation identique.

^îSKp