D'UN THÉORÈME CURIEUX SUR LES NOMBRES
( EtjottaH du BMuifi (U ta SiOôiéié phiUnnatique. )
On trouve dans un numéro du Bulletin de la société philomatique Ténoncé d^une propriété remarquable des fractions ordinaires observée par M. J. Farey.
Cette propriété n'est qu'un simple corollaire d*iin théorème curieux que je vais commencer par établir.
Thêorkhe. Sis après avoir rangé dans leur ardre de grandeur les fractions irréductibles do9U U^ dénominateur v^eoBlçèdc pas- un nombre entier donné , on prentt à, volonté t dans la suite ainsi formée^ deux fractions consécutives , leurs dénominateurs seront premiers entre eux » et elles auront pour différence une nouvelle fraction €tam le numérateur sent (uniié.
Démonstration. Soit — la plus petite des deux fractions que l'on considère , cl
n le nombre entier donné. Soient de plus a' et b' les plus grandes valeurs entières que Ton puisse attribuer. ao\ variables x ti y dans l'équation indéterminée
(i) bx — ay = \,
en supposant toutefois b' <n. La fraction — étant irréductible par hypothèse, et la valeur de b' vérifiant l'équation
6 et 6' seront nécessairement premiers entre eux, et l'on aura de plus
La fraction — jouira donc » relativement à la fraction — , des propriétés énoncées
( »S) iêuê le théorème ; et , pour établir ce même théorème , il suifira de prouver que , parmi toutes les fractions irréductibles dont le dénominateur n'excède pas n, celle qui
surpasse immédiatement — est précisément — • On y parvient de la manière snivante.
Les diverses valeurs de ' jr qui résolvent Téquation (i) forment la progression arithmétique
et, puisque b' est la plus grande de ces valeurs qui soit comprise dans n, on a nécessairement
ff '
Soit maintenant — une fraction irréductible et plus grande que — prises parmi eefles dont le dénominateur n'excède par n. Si Ton fait» pour abréger,
(«) bf—ag = m,
on aura
/ a^ rn^
S b~bg' ,
fa ffi
Ainsi, la différence des fractions —, -r- sera généralement exprimée par -r—; et, si
g '^ bg
l'on donne à m une valeur constante en laissant varier g , cette différence aura la plus petite valeur possible , lorsque g aura la plus grande valeur possible. D'ailleurs les diverses valeurs de g qui satisfont à l'équation (9) sont évidemment comprises dans la progression arithmétique
m6'— -26, mb' — 6, fnb\ m6'4-^» m6'+a6
dont le terme tnb'^ b, égal ou supérieur à 6 ' -(- 6 , est par suite supérieur à n : et, comme g ne doit pas excéder n, il est clair qu'il sera tout au plus égal au
terme mb'; d'où il suit que la fraction — ne pourra devenir inférieure à
mb'b bb' Donc , parmi toutes les fractions supérieures à — » et dont le dénominateur n'excède
(116) pas n , la plus petile est celle donl la différence arec — est égale à -r— c*est-4i*
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dire » la fraction — •
Corollaire* Si , parmi les fractions dont il s*agit dans le théorème , on en prepd trois de suite à volonté , en désignant ces trois fractions par
on aura
t\ par suite
d'où Ton conclut
a'b^ab'=i, a'fc'— a'6'=i.
a'fr-r.afr'=a'fc'— a'é\-
Cette dernière équation n'est autre chose que Texpression analytique de la pro^ priété'^bservée par M. J. Farey.
