DE PLUSIEURS FORGES APPUQDÉES A DIFFÉRENTS POINTS
'^'mmmmimÊmm
Considérons plusieurs forces
P, P\ P% etc....!,
respecHreimBl appfiqnées & différents points dont les coordonnées rectangulaires soient respect! veoient
x^y.zi x\y',z'i x\y',z'; ctc
Supposons de plus ces mêknes forces dirigées de manière à former » avec le demi*axe des X poeitires, les angles
«, «'. «^ etc ;
sTec le demi-axe des y- positives , les angles
eufn avee le demî-iae des z pasitites > ies^ angles
Las profOBtkps dgébriiiiies éà la fiuM P s«r les aies saroBi
Pçmql^ Pcm^» Pcoe7;
tandis que les projections algébriques de son moment linéaire se trouveront repaé^ seotées , si Ton place le centre des moments li Torigine des coordonnées , par les trois produits
P(j^oos7— 3casp)^ P(»Mssr*— asca»7), P^^coa^-^ycosa),
et, si l'on place le centre des aiAments ao point qpi a pour coordonnées a?«» j^» ^« f par ks trois suivants
P[(/-/«)C097-(«-«o)C08p], P[(«-i»o)C0Sa-(«-«o)CO87], P[(«-a?o)c08p- (jr-jro)coSa].
On peut remarquer d'ailleurs que, pour obtenir ces trois derniers produits» il suffit d'ajouter respectivement aux trois premiers les quantités
P(joC097 — «oCOSp) , P(«,COSa — a?oCOS7) , P(a3oC0Sp — JTqCOSol) ,
prises en signes contraires, c'est-à-dire, en d'autres iermes, les projections algébriques sur les axes coordonnés du moment linéaire d'une force égale et parallèle à P , mais dirigée en sens contraire , et appliquée au point (xo,yo» ^o) $ ce moment linéaire étant calculé pour le cas où Ton place le centre des moments à l'origine des coordonnées. De cette remarque on déduit immédiatement la proposition suivante.
Sij en plaçant U centre des moments à C origine des coordonnées, on construit, i,^ le moment linéaire de la force P, 2*^ le moment linéaire d*une force égale et parallèle, mais dirigée en sens contraire, et appliquée au point (a?o,^o9 ^0)9 ^ moment linéaire résultant, transporté parallèlement à lui-même, de manière que son origine coïncide avec le point (aSo*7o» ^0)9 représentera, en grandeur et en direction , le moment linéaire de la force P par rapport à ce même point.
Nous dirons , avec M. Poinsot , que deux forces forment un couple, lorsqu'elles seront égales et parallèles , mais dirigées en sens contraires suivant deux droites différentes; et le moment de ce couple ou son moment linéaire sera ce que devient le moment ou le moment linéaire de l'une des forces, quand on prend le point d'application de l'autre pour centre des moments. Gela posé, le moment du couple sera évidemment égal au produit de l'une des forces par leur distance mutuelle, c'est-à-dire, en d'autres termes, à la surface du parallélogramme oonstroit sur les deux forces; et le plan du moment du couple sera précisément le plan de ce parallélogramme , ou , si l'on veut , celui qui renferme les deux forces données. Do plus, le moment linéaire du couple élevé parle point d'application de Tune des forces , se comptera sur le demi-axe perpendiculaire ai| plan du couple , et autour duquel l'autre force tend à produire un mouvement de rotation de droite à gauche. Enfin, comme, dans la proposition ci-dessus établie , les points d'application des deux forces P et l'origine des coordonnées peuvent être des points quelconques de l'espace , il est clair que cette proposition se réduira simplement à celle que je vais énoncer.
i.*'THÊORâiiE. Lorsque deux forces forment un couple, le moment linéaire résultant, pour le système de ces deux forces, est égal et parallèle au moment du couple et dirigé dans le même sens, quelque soit le point de Cespace que Con prenne pour centre des moments*
Revenons maintenant au système des forces P ,P\P'.... appliquées à différents points de l'espace. Soient respectivement
les sommes des projections algébriques de ces mêmes forces , et celles des projections algébriques de leurs momenls linéaires , dans le cas oii Ton place le centre des moments à Torigine des coordonnées. On aura
I^==Pco8a+P'co8a+etc., y=j:Pco8p4--'''cosp'-4-ctc,Z==PcoS74-''cos7'4-«tc. I»=P(jrcos7-«cosp)-f-etc.,af=P(«cos«-a?cos7)4-etc.,iV=:P(a?cosp-jcosa)4-etc.
Cela posé, si, par un point quelconque on mène des forces P,P\P'.... égales et parallèles aux forces données , leur résultante , que je désignerai par R aura pour
Taleur
et formera, avec les demi -axes des coordonnées positives » des angles a^b^e déterminés par les équations
(3) cosa = -^, cos6 = -^, cosc = -=r--
/t jft il
De plus , si , en prenant le point dont il s'agit pour centra des moments , on construit les moments linéaires des forces données, ^ pourra composer ces moments entre eux de manière à* obtenir en définitive uu moment linéiaire résultant. Soit K ce dernier moment, et désignons par l^n^^n les angles que forme sa direction arec les demi* axes des coordonnées posi tires. Si le point pris pour centre des moments se confond STec l'origine des coordonnées » on aura éridcmment
[o) cosl=-=-, cosm==--^, cosn = -=r;
' A JDL il
puisque les projections algébriques du moment linéaire résultant derront être respectJTement égales aux sommes des projections algébriques de tous les autres. Si le même point , supposé distinct de Torigine , arait pour coordonnées
il faudrait, d'après ce qui a été dit ci-dessus, lui appliquer des forces égales et pa-
( it» ) '
rallèles aux forces P^ P' P'^*^, mais dirigées. en sens conlraires. Eu joignant ce» nourelles forces au système des forces données , et composant les uns avec les autres les moments linéaires de toutes les forces pris par rapport à Torigine » on formerait un moment linéaire résultant égal et parallèle à celui que Ton chercbe» et dirigé dans le m^mo sens. Or » les nouvelles forces étan^t ^ales et parallèles aux forces données j mais dirigées en sens contraires , leur résultante serait égale et directement opposée k la force R. Par suite» les sommes des projections algébriques de leurs moments linéaires seraient respectifiement égales aux projections algébriques du moment linéaire de la force B prises en signes contraires , c'est-è-dire , à
^(««cos6— jr^cosc) = «oI'— J^o2 9
JB(x»cose -<- So cosa) =raB^Z— Zo^ , B{jroCosa — XoCOBb)=jr^'^XoY.
Donc , si à ces trois dernières expressions ou ajoute les quantités L, M 9N ^ on aura pour sommes les projections algébriques du moment linéaire représenté par K. Donc» en plaçant le centre des moments au point qui a pour coordonnées a?»» j^oi ^«^ on trouvera
Kcoêt = L—y.Z^uY ,
(6) { K cosfn=U — z^X '\'X^Z ,
Kco$n=zl\f — i^ Y -^y^X .
On aurait pu obtenir immédiatement les seconds membres de ces dernières équations en exprimant, au moyen des quantités X,Y\Z^L,M^N, les sommes des projections algébriques des moments linéaires des^ forces P, P^, P^.... par rapport au point qui a pour coordonnées Xo,y.pZ^, c'est-à-dire, en d'autres termes, les trois polynômes
^[(r—r«)cos7—(«—ro)cos^] + P'[(/—jo)eo87'— («'—*,) cosp'] + etc.r P[(«— ^o)cosa — («— aîo)c087] + P'[(r'— ;ro)cos«''— (a?'— «o)co87']+etc*, P[(«— «.) cosp— (jf-p-jojcosflt] 4- F'[(a?'--i».)co8p'--.(7'— yo)cos«'] 4- etc. . .
On tire d'atUenrs des éqaalioDs (€)
(7) K = i/i{L^y.Z^ZoYyj^{M-z,X + x^Zy + {ff^x.X+j.Xyh
(fi) cosi = — ^^—^ ^ cosm= ^ , cosn = ^-^
Pour pkM àm oomniodilé^ la rétuUaala M à ia^dUe «e riimt le ëyaième des (Soroes P» P'» P'. . . . loraque Imitea œs ferœs «ont tmBfpwléed paniUèleiiieai à eUet-ntaief el ^plMpiéea à im uénie poînl i aaite DonuDée désarmait la frree principaic im syMèoie* ht monnent Iméaire K réavltaat de la caapoéition dea moiueiito lioéairei daslbrces données aéra de méoie appelé moment Umiaire prmeipaL Gela pesé , il est elaîr que la direction et Fintensité da moment linéaire principal dépeodroBt de la posttioai da centre des moments ; tandis que la direction et Fintensité de la force principale seront iadépendantes de son pobt d'application. De plus , ^and on aura construit le moment linéaire principal relatif à l'origine des coofdonnées, il suffira de le composer avec le nioment linéaire de la force principale appliquée au point dont les coordonnées sont Xo,7«, 2^« • en sens contraire de sa direction naturelle , puis de transporter à ce dernier point rorigine du moment linéaire résultant » pour obtenir le moment linéaire principal relatif à ce même point. On en conclura facilement que la projection du moment linéaire principal êur la direction de la force principale est une quantité constante , «ndépendante de la position du centre des moments. Au reste , cette proposition , que je dois à M. Coriolis» peut encore être démontrée de la manière suifante.
PoQT détermifier la projectioB du moment linéaire principal sur la direetien de la force principale , il suffit de multiplier le moment lui-même par le cosinus de Fangla compris entre sa direction et celle de la force , et de prendre la valeur numérique du produit. Or , le connus de Tangle compris entre les deux directions est équiralent h la iomme
cosa cos/ -4* cos6 coai» + cose cosjs ,
laquelle , en vertu des équations (5) et (8) » se réduit à la fraction
LX + MY + NZ KR
Donc , la projection cherchée sera équiraleate k k râleur numérique de celle fraclioo multipliée par X, c'est-ë-dire , k
.LX + MY-{-NZ
CeUe dernière expression » ainsi que Ton ê*j attendait , ne dépend point des coordon* nies du centre des moments , mais seulement des six quantités
)ui conservent les mêmes valeurs p quelle que toit la position de ce centrer
La projection da moment linéaire principal sur la direction de la force principale, étant une quantité invariable , représente la plus petite valeur que puisse admettre ce moment linéaire , ou » en d*autres termes » son minimum. Pour obtenir ce minimum , il faut évidemment placer le centre des moments dans une position telle que la direction du mo^ment linéaire principal devienne parallèle à celle de la force principale. Celle condition sera remplie» si l'on a
cosl^ cosm cosn ces a cos^ cosc *
ou 9 ce qui revient au môme^
Par conséqaent , ai l'on nomme
les coordonnées d'un point qui , pris pour eentfo des moments , remplisse la condition énoncée, on aura
Cette dernière formple équivaut aux (rois équations .
X LX+MY-{-NZ
i-,Z4.çy=
(lo) ( M-^X-\-iZ =
A il
Comme ces trois équations sont du premier degré relativement aux coordonoées S» n» C» et que la troisième équation se déduit immédiatement des deux autres, il est clair qu'elles appartiennent k une droite , sur laquelle il suiBra de placer le centre des moments 9 pour que le moment linéaire principal devienne un mlDimum. Cette droite sera désignée désormais sous le nom à^aax principal.
Lorsque le système des forces données se réduit à une seule , les six quantités
appartiennent à cette force unique > et représentent les projections algébriques de celte force sur les axes , et celles de son moment linéaire par rapport à l'origine. Dans la même hypothèse , on a nécessairement ^
et par suite les équations (lo) se réduisent aux suivantes
(il) Zfl — Fç = L. ^!;-.Zç = Jlf, Yi — X„ = N;
c est-à-dire , aux équations de la droite suivant laquelle agit la force donnée. Donc alors Taxe principal se confond arec cette droite*
Lorsque le système des forces données se réduit h deux forces P, P\ on a
jr=PcOS«4-P'cOSa', F=PC0SP4-P'C0SP', Z = PcOSy + P' CÔBy' .
Alors la force principale est la résultante des forces P , P' transportées parallèlement \ eHes-mêmes et appliquées \ un même points tandis que \k moment linéaire principal esl la diagonale du parallélogramme construit sur les moments linéaires des deux forces données. Dans la même hypothèse» la force principale s'évanouit» lorsque les deux forces P, P' forment un couple; auquel cas on a nécessairement
jr=o, y=o, Z=o
C0Sa'=— COS«f C0SP'= — COSp, C0S7'= — COS7 .
Dans ce cas particulier » les projections algébriques du moment linéaire principal deviennent indépendantes de la position du centre des moments; par suite, le moment linéaire principal conserve toujours la même valeur , et n'admet plus de minimum , ensorte que l'axe principal disparaît entièrement. La valeur constante du moment linéaire principal est alors équivalente au moment linéaire du couple » c'est-à-dire , au moment linéaire de l'une des forces , quand on place le centre des moments sur la direction de l'autre force » ainsi que nous l'avons déjà expliqué. On arriverait aux mêmes conclusions » en observant que » dans le cas présent , les projections algébriques du moment linéaire principal se réduisent » en vertu des formules (la) » h
*/=/'[(« — »')cosa— (a?— flB')cos7)], H = P[(a:— a?') cosp— (/— /)cos«)] ,
( it4 ) .
c'atMi-dir», mai profoeUo»! algébriques èm maoïeiil Inétire éâ là force P, dam )t CM où Von pread peur centre des moments le peiol d'appUcaltoB de la forée P\
Si, pour .le système de^ forces P, P\ la force principale et le moment linéaire principal s'évanouissaient en mfime temps » on en cenclurait que ces deux forces sont égales et agissent suivant une même droite, mais en sens contraires.
En général , quel que soit le nombre des forces P , P', P'« • . • lorsque X ,Y ^Z s'évanouissent» la grandeur et la directioa dn joement linéaire principal deviennent indépendantes de la position du centre des moments. Par suite , si , la force principale élaut QttHe , le aïOEBant lÎBéaire prindpal se réduii k séro peur uaé eeKaiae posilîoa du centre des moments , il s'évanouira égalemeoi pour toutes les aotres.
Considérons p peur fiser las idées, «n système composé seulemeai de Irete forces P» P\ P'.' Si, pour ce système, les six quantités
jr, K, Z, L, M. N
s'évanouissent » pon-seuleoj^ut la force principale s'évanouira , mais il en sera de même du moment linéaire principal , quel que soit le centre des moments. Gek posé p concevons que l'oft fasse coïncider le centre des moments avec le point d'application de la force P^ Dans ce cas « le moment linéaire de la force P" étant nul« ceux des deux autres forces devront élre égaux et dirigés suivant une même droite, mais en sens contraires , afin que le moment résultant se réduise k zéro. Par suite , les directions des forces P' et P" devront être comprises dans un plan unique mené perpendiculairement à la droite dont il s'agit par le point d*application de la force P^ Ce plao unique , renfermant les. points d'apjrfication des trois forces P, P', P", sera nécessairement le plan du triangle formé avec ces trois points; et, comme au point d'application de la force P^ en peut substituer it volonté celui de la force P, ou cehiî de la force P\ on déduira évi^femment des remarques que nous venons de foire fa proposilûm soivanse
2.* THÊORfiHE. Si pour fo tjrêtème des trots forces P, P', P^ tes suc quantités
s^évanouissmu , êhaesam des traU fsree» ser» compris^ dknm U plan du prkmgte qui renferme Us trois points dlappliemHofif
