ENTIÈREMENT UBRE DANS L'ESPACE

Cherchons d'abord les conditions d'équilibre de deux points matériels (/^)» {A^) sollicités au mouvement par deux forces P, P\ et liés entre eux par une droite in-

▼ariable AA\ Si l'équilibre subsiste entre les forces appliquées aux extrémités de celle droite, on. ne le troublera pas, en fixant l'une de ces extrémités, par exemple, le point {A'). Dans cette supposition, le point {A)^ restant seul mobile, ne pourra décrire que la surface d'une sphère; et la force P, pour le maintenir en équilibre, devra être normale à celte surface, par eoi^équent dirigée suivant le rayon A A' ou suivant son prolongement. On prouverait de même , en fixant le point {A ) , que

la force P' doit encore être dirigée suivant le rayon AA' . prolongé dans un sens ou dans un autre* Concevons maintenant que, les forces P, P' agissant l'une et l'autre suivant la droite qui joint leurs pT)ints d'application , on rende à ces deux points leur mobilité primitive. Pour que l'équilibre continue de subsister , il sera évidemment nécessaire que lu droite soit tirée h ses extrémité^ par -les deux forces dans deux sens opposés, et autant dans un sens que dans l'autre. Par suite, 'les deux forces devront être égales et dirigées en sens contraires. Réciproquement, si les deux forces P^P' %

appliquées aux extrémités de la droite invariable *ÀA'\ sont égales entre elles , et agissent suivant celte droite, maiç en sens opposés, il y aura évidemment équilibre.

Lorsque deux forces sont égales et agissent suivant une même droite en sens contraires , leurs moments linéaires sont nécessairement égaux et directement opposés. En conséquence , pour le système composé de cçs deux forces , le moment linéaire prin>cipal s'évanouit aussi bien que la force principale. Réciproquement, si , pour un système composé de deux forces P, .P\ la force principale et le moment linéaire principal s'évanouissent, on pourra en conclure que ces deux forces sont égales et agissent en sens contraires suivant la droite qui joint Jears* points d'app^cation. Donc abrs, si cette droite est invariable , elles se feront équilibre.

Pour traduire en analyse les conditions d'équilibre que nous Tenons de IrouFer, désignons par

les coordonnées des points {A), {A'); et par

les angles que forment les directions des forces P,P' avec les demi-axes des coordonnées positives. Enfin, soient respectivement

X, y, z is M. ff

les sopames des projections algébriques des deux forces sur les axeSu des. se, j, ^r et les sommes des projections algébriques sur les mêmes, axes de leurs moments linéaire^.; dan^ le cas où Ton place le cent|« des moments h l'origine des coordonnées. La force principale étant représentée par

f, le woiMPt IntA^iw pri9V<paIi ft*

vr(/:,»+4!t'4-iV').

il sfsra D^^9Vr«l> «* U *P%a ppur l'équilibr» ^up l'on. «'* Ma.-foi» ot désigcumï ftit- m le .oopabre ie*. rftCÎQet d^ l'é<|puMÀun

o^ , ce qui revient au n^ôifte ,

A" = o„ y = o, Z==o; et

^=rO-.

Sitdanf cesdêrnièrefréfftlioDSr, ontrecMlipour Ar> y, Z, L^M, N^ leamvalearf respectives , on trouvera

(:»' PcO8« + i>'C0Sa'=0, Pç08f + P'cOSp' = 0, /^C05 7 + l>' COS7' =0 .

i P[jCO8y-CC0ie]+jP'[yWfty-2'CClsf']==0,P[«tî0»a-«CH>»y]-|*-P'tt'005a''-a?'c087']==0,

En reriu d^ équatfotiê (5) , leè équ&tioDs (4) doviennènùrt

et peuvent être remplacées par les deux équalions coinprise* dans la formule

,^ Pcosa Pco$B Pcosy (G) ~—^^ J..

En conséquence , les six équations d'équilibre que nous avons d'abord trouvées se rédaisent à cinq, savoir, aux équalions (o) et à cellcfs que comprend la formule (6). Les équations (3) expriment que les forces P, P' sont égales et agissent en sens opposés, suivant la même droite , ou suivant des droites parallèles. La formule (6) exprime que la force P agit suiyant la droite qui joint les points d'application des deux forces. Ajoutons que les équations (5) et la formule (6) peuvent être remplacées par une sentie formule, savoir,

Pti}%a Pcosp Pcoj.7 P'cos«e' JP'cosp' P' eo^^'

^"' of-ar' ~ y-y ~ z-z' ~ x'-x ~ /-r ~ z' -z *

£n vertu de ce qui précède » une force P, appliquée au point {A) et agissant

suivant la droite AA\ fera équilibre à une seconde force P*i=P appliquée à «n autre péÎAt {A') . de la même dt^itê, et dirigée suivant celte droite, tiiaift en itas contraire, poui^m que l'ôH aoppose les deux points Kés invariablement entre eux. Cet équilibre subsisterait eoCOre , s] l'dn treiiaportait le point d'application d)a la force P àt {A) en {A') , sans cha«ger 1» direction de cette force» puiaqu'alors en aurait au point [A') deuac forcea égales et directement opposées. Le point {A') pouvant d'ailleurs être choisi arbitrairemeot sor la direction de la force P , nous devons conclure qu'une force dirigée auiirant une droite dont tout les points sont supposés liés invariablement les unsauxaut^s, produit toujours te même effet, en quelque point de cette droite qu'on la suppose appliquée. C'estxe qu'en peut encore exprimer en disant que deux forces appliquées aux extrémités d'une droite invariable , et agissant suivant cette droite dans le même sens , sont étfahaUntes.

/ Il e»t «Hentiel d'obaef rer qn.'en Itaaaportant le pokit d!appUeatîon d'une force par-

JÊ

( »»8) tout où Ton voudra sur la direction de cette force , on ne changera jamais ni ses prc jectiops algébriques , ni celles de son moment linéaire.

Si f la droite A A* demeurant toujours invariable , l'extrémité {A ) de cette droite était soumise à Faction de plusieurs forces P9Q9 etc...., et l'extrémité (^') à l'action de plusieurs autres forces P\ Q\ etc. ...» il serait nécessaire , et il suffirait pour l'équilibre que la résultante des forces P, Q , etc. ...» fût égale à la résultante des forces P\ Q\ etc.... , et que ces deux résultantes fussent dirigées suivant la

même droite AA\ mais en sens contraires. Par suite » il serait nécessaire et il suffirait que, pour le système de toutes les forces données^ la force principale et le moment linéaire principal se trouvassent réduits à zéro. Si l'on désigne toujours par