DES SECTIONS ANGULAIRES

Depuis quelques temps , les géomètres se soat proposé de résoudre les difficultés que peuvent oifirir plusieurs formules relatives aux sections angulaires. Ces mêmes difficultés se trouvant aussi résolues par les méthodes que j'ai données dans le Traité d'analyse publié en iSai 9 j'ai pensé qu'on ne verrait pas sans intérêt une indication sommaire de ces méthodes , et des avantages qu'on peut en retirer.

Les expressions que l'on rencontre dans la théorie des sections angulaires sont do deux espèces. Les unes admettent des valeurs multiples : tels sont les logarithmes et les puissances fractionnaires des quantités négatives et des expressions imaginaires. D'autres n'admettent qu'une seule valeur : tels sont le plus ordinairement les développements «n séries. Quelquefois , parmi les valeurs multiples qu'une expression présente , on rencontre une valeur particulière qui mérite d'être remarquée. Il m'a paru nécessaire de distinguer dans la notation cette valeur particulière de toutes les autres « afin d'éviter la confusion que pourrait introduire dans le calcul l'emploi de la même notation pour des us^ge»*-. : ; \/ **V*'f divers. C'est pour cette raison que j'aiprpposé d'entourer de doubles traits ou de dou]i&sl. '* v * ••' • • parenthèses les quantités comprises dans des fonctions qui admettent des valeurs mul-:*:': ;*:••:• **, . tiples; d'indiquer 9 par exemple 9 par .••••••*

(i) /((«+^v^^)), ou ((«+^i/~or

l'an quelconque des logarithmes de l'expression imaginaire a-(«& f/^» ou l'une de ses pmssances fractionnaires du degré ac =s dz ^ ; et de réserver les notations

pour indiquer un seul de ces logarithmes, ou une seule de ces puissances. Bntrons , h ce sujet » dans quelques détails.

Si Ton désigne par r la racine carrée positive de a' + ^* ^ et par G celui des arcs

compris entre les limites — j » + a * W *^ po'V langente le rapport - , on aura généralement , pour des valeurs positives de a ,

I (C« + *V-0)f =r",(co8>.6 + l/:Zl8in>e )((!))'*; tandis qu'on aura , pour des râleurs négatives de a ,

a) I '{(« + * v/^)) = '(O + fl|/=r 4- /(C-O),

Or, parmi les valeurs multiples de l ((i)) , il en est une qui mérite d'être remarquée , savoir, la valeur réelle

qu'il est naturel d'iadiquer h l'aide de parenthèses simples. De même, parmi les valeurs multiples de ((i)) ^'t il ci) existe une qu^îl est également naturel d'îndiqoer à Taide de parenthèses .sipaples, sayôir, la valeur réelle

Cela posé 5 si Ton convient de réduire' ii la fois , dans les deux membres de chacune des formule^ ,(^), les parenthèses douLles à des parenthèses simples, on ohliendra les formules

tjtA «ertiront à définir les expressions {â') , mais seulement >pottr des valeurs positives de la con^t£fnte a. Tl est in^ortaiït de i^emarqner qne ehatiMra dès ëqusftions (5) conti* \ .: / * 't^2^a de slibâiigter, sj l^on chan]^ , dans les deux membres » la signe de V*--^ •

, . .^.... .,.'*** Dans le cas où a est négatif, les valeurs des expressions / {{ — i)) et (( — i))^ com-

'•• : ••;'..:%.: '• prises dans les seconds membres des formules (4) > sont toutes imaginaires, ei Ton ne

iroi^ aucune raison pour appliquer la notation l ( — i) ou ( — i)^ à l'une de ces valeurs * • • • * * '• ••"^ïlutôt qu'à l'autre. On doit donc ijlors ^abandonner les notations t{a +^V^^^)>

{ ^"h f V/"-^ )^ 9 ainsi que les notations / ( — i) et ( — i)^ . Il y a plus : l'emploi de ces

notations 'of&rfsrit tfn grave ihconvénient. En effet, admettons, pour «b instant, la

notation ( — i^'^cotnine répréseirtant ta ptûs simple des valeurs de (( — i))^, savoir ,

l'expression imaginaire cos jn v\^ \/^ sln /ul ir ', et supposons que la définition de

( fl-f"^ V^ ) ^ «® déduise des formules (4) , quand n devient négatif, comme elle se

déduisait des fonzMiles (5) , quand a était positif. Oa 4Mira

et cette dernière équation devra subsister en même temps qae la seconde des formules (5), quand on supposera a=o^ 6= — i. Par suite on sera forcé d'admettre à la fois les deux équations ...

( — t/^) '^ = ( C08 ^ 4- \/~ Au ^) (cos /<» + i/rr sin >«») ,

dont la première exclut évidemment b seconde. Les notations

restreintes 5 comme on vient de le dire, au cas où a est positif, joubseoft d'ime pffopiriélé très-remarquable [Voyez l'Analyse algébrique, chapitre IX » et les 57.* et 38.' Levons de calcd ^infinitéainiak } Celle propriété consiste en œ que lea séries convergentes , qui

fournissent les développements de /(a4-6) ot de (a-f*^)^ # quand fr' est inférieut à a%

représentent ei\core les développements de / ( a 4- ^ \/^ ) et de ( a + ^ \/^) ^ » ^^^ le cas où Ton remplace b par b v^HT* Les deux expressions imaginaires

sont, parmi les di verser valeurs de l {{a 4- A vdT)) , et de ((»+ A l/^}) ^ . les seules qui jouissent de cette propriété* De plus , comme on a généralement, en posant —=: B ,

(6) J Z(«+.6 4/=7) ^/(a)+f(i4-iîV:=r).

n est clair qa^on peut se contenler d'éttbUr k' propriété en quesitioa, pour le 'eàs'oir Ton suppose la constante a réduite à Tunité, ainsi que îe Tai fait dans l'Analyse algé<brique.

Je vais maintenant rappeler en peu de mots quelques applications des principes ci«dessus exposés, et quelques-unes des formules auxquelles ils conduisent.

Les équations que Ton rencontre dans l'analyse des sections angulaires, sont de deax espèces. Dans quelques- unes cj^nlre elles , chaqu^ membre a des valeurs multiples. Ce sont les équations les moips précises. Car ch^ue équation de cette espèce indique seulement que Tune des valeurs du premier membre est égale à Tune des valeurs du second. On peut -citer comme exemples les fi>rmules (3) et (4)' Dans d'autres équations « le second membre à une valeur déterminée. Alors il n'yeeurait nul avantage à placer dans le pren^iior meuibre une expression dont les valeurs seraient multiples. Car ce seraîl indAquer en quelque sorte qu'on ne sait pas quelle est celle des valeurs do preoMer membre qui doit être égalée au second. On sent donc alors la nécessité d'employer dans le prensier membre une notation qui ne puisse s'interpréter que d'une seule numière. On remplira aisément celte condition , en adoptant les notations ci-dessus

mentionnées. Ainsi , par exenaple, en désignant par t un arc quelconque» par >u une quantité quelconque^ par :; une autre quantité comprise entre les limites — i , + i , enfin par

z mn t

s = arclang