I -4- « cor
un arc renfermé entre leslimites— -— ,4-— » on Irouvéra [voye^ l'Analyse algébrique» pages 395 et 996V }
,s } 1+ - s(co8t4-V^>iP^) + ^ ■ "^* g* (co0 a l+|/!rr^'°^^ )"+***> t = [1+ 5 ( cos« + V~^ 8În« )]^ ,
ou ,■ ce qui revient au même ,
1 +~ « ( cos t + j/ilT sin I ) 4- ^^-^^— — ^ «"(cosat+^/!Zrsîn a<)4-***
=(i + 2«cosl+»') (cosyu«+i/irr 8În;«^)
On conclut aisément de l'équation (8) ou (9) que la formule connue du binôme, sayoîr,
subsiste pour des valeors quelconques de fi , non-seulement dans le cas où x et jr sont des quantités réelles dont la première est positive , mais encore dans le cas où a; et jr sont des expressions imaginaires» dont la première a pour partie réelle une quantité positive. On établirait avec la mfime facilité les formules
(10) /[ 1 +«(cost4-|/T sîn«)] — « (cos«+ v/T sin t)— • — (cos at+t/T sînfr)+ctc. (n) /(i4-a«cos< + «») + rarctang ^2^i5 — r JV/^ =:«(cosr4-4/7 sînO-^-otc
qui subsistent dans les mêmes hypothèses que les équations (7), (8) et (9) , et dont la seconde est la formuiie (37) [g a.*] du chapitre IX de l'Analyse algébrique.
Parmi les formules relatives aux sections angulaires t les géomètres ont remarqué celles qui fournissent les développements de cos f^z et de sin fiz, suivant les puissances ascendantes ou descendantes de sînz, cos s ou tang^, ainsi que les développements des
('5) paissânces de sinus et de cosinus » en fonctions des sinus eu cosinus d'arcs multiples. Nous nous bornerons à présenter ici quelques réflexions sur chacune de ces formules.
Soient f* une quantité quelconque » et s un afc compris entre les limites , H — .
Les valeurs de cosp^ et de sin y^z se développeront en fonctions des puissances asceodantes de sIn z par les formules
(i5) cos.fi£= 1— -^■—sm^g-f* » sm»g-^etc>
04) ,ta^z=^»ta,-!ik^,in»,+JlCl=2iiÇzilrii,5.--etc.
=oos « [ fAsinz — ^ "v^ MP ^«4"0*c-] »
(voyez rÂAfilyse algébrique» .pages 548 et &49)- ^» dans les formules (i5) et (i4) , on remplace z par ~— g, on obtiendra celles qui fiouraissent les développements de cosyiZ
et ie m ftz en séries ordonnées 'Sumnt les puissaMes oseeuteites de- cos s.
Si Ton voulait développer, suivant les ptrissances ascendantes de sin z , non plus siofts etcosfig, mai^
siOfA (gdinTr), et coSfi(zdin)r} ,
n étant un nombre entier quelconque» il suffirait fie joindre aux formules (i3) et (i4) les deux équations connues
sin fA(zd2nir) = eo8 finir. siofAS± siOfAiiir. coSfAS^ cûê^^zdLnv) sscospinir. cesfi^^aiofin** siof^a;.
Il importe d'aiUeurs d'observer que » l'arc z étant supposé compris entre les limites — -,4-— , ^rhair représente un arc dont la valeur est entièrement arbitraire.
Si Ton désigne par f «ne quantité quelconque » ol par • «b arc compéis entre les
limites — -s 4- t > 1^ valeurs de cos f^a et de sin pa se développeront^ suivant les 4 4
puissances ascendantes de la tangente^ par les formules
(i6) sinpi*= - cos*^ «. gin«— Jl-^j:^ — i-iil i cos*^ «.sin *+clc-
= f* cos *^ * [ tang ê ii — i-—: — ^ tang «+.••].
[voyez l'Analyse algébrique , page 2197]. SI la Valeur numérique de ê était renfermée entre les limites 7»-» les séries comprises dans les seconds membres des équations
(i5) et (16) deviendraient divergentes, et n'auraient plus de sommes.
Les développements connus de cositz et de sinfxz suivant les puissances descendantes de sins ou cos s ne peuvent s'obtenir que dans le cas où u est un nombre entier. Ils se déduisent immédiatement des formules. (1 3), (i4)» etc.» lorsque» dans les séries que renferment les seconds membres» on renverse l'ordre des termes» en écrivant les premiers ceux qui étaient les derniers » et réciproquement. . On tirerait avec la même facilité des formules (i5) el (16) les déveleppements de cosfAj et de sin^s suivant les puissances descendantes do tang«» en supposant la quantité fA réduite à un nombre entier.
Il me reste à parler des formules qui fournissent les développements des puissances de coss et de sinz suivant les cosinus ou sinus des arcs multiples de z. Dans le cas le plus général» ces formules peuvent être déduites de la sommation des séries
a=cospi«-+"f*cos(fA— s)5-|- ^^ cos(fA— 4)«+®tc- *
ufa— *l)
t;=sinfi«4-f*^^ (f* — 2) «4- ^-■^- — ' sin(fA— 4)*+ etc.,
qui sont elles-mêmes comprises dans les suivantes
{/ =cospi 2 +f* jcos (fx— s ) 2 4. -îtifl^ j> cos f^— 4 ) « -4-etc. ,
f =8111 ca+f^sin (f«— 9 ) «4- -iii^i-— i jr'sin (j*— 4)«4-etc.
(7) Obserrons d'ailleurs qae , poor rendre celles-ci coaTergeptes » on doit toujours renfermer j ejdjtre tes limites -« i , -f- 1 • Cela posé » si Ton ajoute la première des formaies (18) à la seconde multipliée par i/TT > on trouvera
(19) (7+f'v/n'=e [i+i^r^ +nL^y e +.../
Par conséquent la question se réduit à trouver la somme de la série
Or, il résulte immédiatement de la formule (7) que cette somme est équivalente « pour des valeurs quelconques des quantités fi et z , à
On aura donc général^nent et par suite
Les formules (as) et (aS) suffisent pour déterminer les quatre quantités V^ y» u,v , Coocevons» par exemple, qu'on demande les valeurs de tt et de 1; . On posera
s = Odbiifr^
6 désignant un arc compris entre les limites -^ - , -^ - » éï n un nombre entier quelconque. On anra par suite
e =ze 9 c • =: 6 • a ,
et la formufe (s3) donnera
=(aco8ô)f* (co8fAn9r±:^/!78iofAnir) , On en conclura
(94) tt=(2CO80)^COg finir
t;=(aco8©) 8infin9r
Le8 deux équations précédentes peuvent remplacer des formules équivalentes données par M. Poinsot , dans ses Recherches sur l'analyse des sections angulaires » ainsi que les quatre formules données par.M. Poisson , sous les numéros (10) ei'(i 1) , dans le Bulletin des sciences de septembre i8a5.
Il ne faut pas oublier que les séries comprises dans lescformules (17) ne peuvent' être sommées que dans le cas où elles sont convergentes. Or» c'est ce qui arrivera toujours, si la quantité fx est positive. En effet , on a gàiéralement , en supposant z* inférieur h Tonité, et l'exposant p positif ou négatif,
Or, il est facile de s'assurer i.^que lea termes de la série précédenle, qui renfermeront des puissances de z d'un degré supérieur à la valeur numérique de Fexposant /a , seront tous affectés du même signe; s.*" que, si Ton fait converger z vers la limite 1 , la série ne cessera pas d'être eonyergehte , quelque petite-q^e soit la différence de s à
l'unité. Ujest aisé d'en conclure que, pour 2 = 1 , la série sera convergente ou diver-
génie suivant que i»iimfite de la semnie ( 1 -^r) sera fmie on infinie. Le premier cas aura évideaunent lieu, si /a est' positif, puisqu'on trouvera , dans cette hypothèse,
( 1— -1 ) =:o . On aura donc , pour des valeurs positives de fx ,
,— , — ** — >"('-(*) ft(i-(») (a-ft) ^^^ ^
' ' 1 i^^ — tm&m I * ■ i. ^B^i m ■ I ii>i>>É — *^*e»C»' ,
et , puisqu'alors la série
,,±. SLllUl, -c('-c) (",->:,) , etc.
sera convergente , on pourra en dire autant à fortiori des séries comprises dans les for
(9X mules (17). Si l'on supposait au contraire 9*, négatif, et égal à — y , on trouverait , en posant 2=1,
et par suite » la série (97) > ou
serait* diVë^ëiAé: AjoUtèris qne1e*lèrm'e géiiSFald^ cette sékè; savoir
^ '' i.a.3...ii
croiM oudétiiolfrabMfiniÉkMÀvpoiirdékvklèilfS^tfdk n' , sûivakif'qiiel'bn
supposera y>'t on r<.i 3 eld*abcM^ il ebt^dall^^qiK^.^i^ ^ dAslgtiê utf nobibre entier sùpériear^à l*uèilé, l^èiipraisba- (39) pottfrârétéeptrésetfléeûéous laibl'm^
d oh il résulte q«*elle devieikdra infinie pîtnir des 'valeurs infilies de n . De pTu's , si l'on fait avec M* Legebdre
/oo
X t dx f
Texpression (29) deviendra généralement
et , comme , en désignant par § une quantité dont la valeur numérique décroisse indéfiniment avec — , on aura , pour de grandes valeurs de r ,
on trouvera par suite
i" devant converger eo môme temps que - vers la limite o . Or « il est clair que le
second membre de l'équation (Si) se réduira , pour des valeurs infinies de- n , h o , à Tanité, ou à Tinfini positif, Sfiivapt que Ton supposera y<;i,r=iy ou r^i* On po^rra donc en dire autant de l'expression (sg) ; d*où il est aisé de conclure que les séries comprises dans les formules (17) seront divergentes pour de$ valeurs négatives de II renfermées entre les limites fA=s— 1 , pr:^-— 00 . Quant aux valeurs de p renfermées entre les limites fi=:o , fA=i , on démontrerait facilement » par des procédés semblables à ceux que nous avons employés dans le chapitre 6.* de TAnalyse algébrique , qu'elles rendent ordinairement convergentes les séries comprises dans les formules (17). On doit toutefois excepter le cas où Ton supposerait a 2=:?r .
Des remarques diverses, que.nous venons.de fiûre» il résulte que les formules (s3) et (a4) doivent être restreinte an ca^ où la qaUntité fA se trouve renfermée entre les limites (&=— -i , f«.^=oo , c'est-à-dire au cas ou la quantité . fi-H 1 est posttÎTe.
Nous nous sommes contentés , dans cet article , de montrer comment les principes que nous' avons établis s'appliquent à la sommation des séries. Mais c'est surtout dans le calcul intégral , et particulièrement dans la théorie des intégrales définies que les mêmes principes reçoivent de nombreuses et d'utiles applications. On peut consulter, à ce sujet, le 19.* cahier du Journal de l'École royale polytechnique , ainsi qu'un mémoire publié sous U date d'août 18a 4» et relatif aux intégrales définies prises entre des limites ima^ ginaires.
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