APPLIQUÉES A DES POINTS LIÉS INVARIABLEMENT LES UNS AUX AUTRES

On dît en mécanique que deux systèmes de forces, dont les poioU d'application se trouTcnt assujettis à des liaisons quelconques, sont équivalents , lorsqu'un troisième système , choisi de manière à faire équilibre au premier , fait en même temps équilibre au second. Cela posé , si les points d'application ont été liés invariablement les uns aox autres, il est clair qae^ dans le passage du premier système au troisième, ou du second au troisième, les six quantités ci-dessus représentées [pag. iig et suiv.] par

X, r, z, L» ir, N

devront conserver les mêmes valeurs numériques , mais changer de signe. Par conséquent , dans le passage du premier système au second , elles conserveront les mêmes valeurs numériques et les mêmes signes. Ainsi , pour que deux systèmes de forces appliquées à des points liés par des droites invariables soient équivalents , il est nécessaire et il suffit que de part et d'autre les projections algébriques des forces et de leurs moments linéaires fournissent les mêmes sommes ; ce qui revient à dire que ces deux systèmes doivent avoir la même force principale et le même moment linéaire principal.

Concevons maintenant que , pour un système de forces appliquées à des points liés invariablement les uns aux autres , on connaisse les six quantités

Pour que ce système soit réductible à une force unique, ou, en d'autres termes, pour qu'on puisse le remplacer par une force équivalente , il sera nécessaire et il suffira que les six quantités données soient propres è représenter les prpjections algébriques d'une seule force et de son moment linéaire. Par suRe, il sera nécessaire et il subira que ToB ait en même temps

(2) . LX + ai¥+NZz^6.

Ces conditions étant supposées remplies , la force équivalente au système donné sera ce qu'on nomme sa rétultarU^f et çf tto résultaiBle n« aéra autre chosç que la force principale appliquée à Tun des points de la droite dont les coordonnées S , «1 » ^ vériiieDt les trois équations

(5) { ^X — iZ=M,

Si Ton avait è-la-fois (4) X = o, F = o, Z==o,

Téquation (s) serait toajoars vérifiée. Mais la formule (1) se Iroaverail remplacée par la suivante

(5) jr* + y+z* = o.

Dans ce cas, le système donné sera évidemment réductible à deux forces égales et parallèles , mais dirigées en sens contraires de manière à former un couple. En effet , pour obtenir un couple équivalent au système dont il s*agit , il suffira de choisir ce couple de telle sorte que son moment linéaire ait pour projections algébriques sur les axes les trois quantités

Pour y parvenir , on taracera un demi-axe qui forme avec enx des coerdomiées positives des angles dont les oosinas soient respectivemeat

V^{L»^-«r»^.2V)' VCÏ^+J^+Ï^* v/(L»+Jlf+iV«) '

on mènera par un point quelconque de l'espace un plan perpendiculaire à ce demi-axe , et^ar deux points pris arbitrairetnenl doDS ce plan deux parallèles quelconques; enfin on divisera le radical

par la distance des deux pavallèles , puis Ton portera sur elles » dans des sens opposés , deux forces égales représentées par le quotient , et dirigées de manière qae cbacaoe tende à faire tourner le plan de droite à gauche , soit autour du demi-axe primitivemeat

constf mt , soft M/M& A'au dMif-àEiN3 imnlIMift àtfiA )*«vig{ne oi^ifttidwÉit avèc fe jrohxt d'sf^liesttiofn 4^ Faiitrè feit^. Il vè^fit et Wê obêert£Ak>iis iju^aptto wéh obtentt titi couple éfiaÎTalent aa sysl^iM dmmé , DU pôttiM , %M« thMgêff l^effet de ce tMpIe nla^ tiVemeot à Féf uilibre« Iraïuyioner soq plan jMiraUèleaieiit à lui-même partout où l'on roodrà» et Zaïre varier arbitrairemeot dans ce plaa noa-seulemeot les poiAts d'application des deux farces . mais encore les droites euirant lesquelles elles agissent. Ces droites itani «apposées connues » on en déduira immédiatement Tiotensité de chaque Aurce. il est luen entendu que les points d'application des deux fonces du couple sont censés liés ânyariaUement Tun k l'autre et à tous les points que l'on considère.

Si , pour k «ystème de forces do&dé , fèquiition (^) cesêeîl d'être vérifiée ^ on fvourraU substituer à ce système la rétitnon de deux autr^ qui dooneraieiit pour tes nommes des projections algébriques des forces et de leurs moments linéaires , le.premier les six quantités

X , Yt Z, o , o , o, et le second les six quantités

0 , 0 , o, L, if, N*

Le premier des deux nouveaux systèmes pourrait être remplacé par la force principale appliquée k l'origine des coordonnées > <et ks «second par «m couple. Par suite , cette force et ce couple réunis seraient équivalents au système donné. De plus, il aenit permis do faire passer le plan du couple par i'origine^ et même d'appliquer à cette origine une des forces du couple, en la supposant dirigée suivant une droite quelconque. Ajoutons ^ f ori^ne des coiordoanées peut é^ tran^rtée en un point quèlcenquo de l'ospace , d oii il suit que le système donné , quelles qwi soient l^ valeurs de XtY^ZfL^M^JI , pourra toujours être remplacé par la force principale appliquée à un point quelconque de l'espace et par un couple. On arriverait aux mêmes conclusions, en considérant ce système comme formé par la réunion de deux autres , pour lesquels les sommes des projections algébriques des forces et de leurs moments linéaires seraient respectivement de la forme