USAGE DES MOMENTS LINÉAIRES
DANS LA RECHERCHE DES ÉQUATIONS DIqUILIBRE D'UN SYSTÈME INVARMlRLE ,
ASSOJETTI A CERTAINES CONDITIONS.
Dans I^riiele préoédent , hoos avonâ fail voir qa'un système de forces appliquées à des points liés inrariablemenl les uns aux aulres pouvait toujours être remplacé par la force principale appliquée à ub" point- quelconque de Tespace, et par un couple; qu'en outre il était permis de supposer l'une des forces du couple appliquée au même point que la force principale , et dirigée' suivant une droitç quelconque menée arbitrairemeot par ce point. En partant de ces principes , on trouve facilement les conditions d'équilibre d'un système invariable retenu par. un ou deux points fixes.
ConcevQus d'abord que le, système invariable soit retenu par un point fixe , et prenons ce point fixe pour origine des coordonnées. Soient , à l'ordinaire ,
les sommes des projections algébriques des forces données , et des projections algébriques de leurs moments linéaires , Torigine étant prise pour centre des moments. Le système de CCS mêmes forces pourra être remplacé par la force principale
appliquée à l'origine , et pat lin couple de deux forces Q , qui agiront en sens contraires suivant deux droites parallèles séparées l'une de l'autre par la distance D , riotensité Q de chaque force étant liée à la distance D par l'équation
Ajoutons qu'il sera permis d^appllquer la première force du couple » aussi bien que la force B , au point fixe pris pour origine des coordonnées. Alors ces deux forces se trouveront immédiatemeni détruites par la résistance du point fixe » et la seconde force
du coaple pourra seule produire un mouTcment de rotation autour de ce point. Pour que toute e^ffyc» da t^admce. k. un iioinhlahle mouvemeiit d^patrajUs^ ». ou , en d'autres ternies , pour- que l^équiHbre aubsiste > M sera nécessaire , et il sulBr» q«te la seconde force du couple s'éranouisse ou passe par Torigine, c'est-à-dire, que Tun des facteurs»
Q et JD» dui produit QDm ('éTanQui^ao* Par misi^ îLaora uéQQsaaim «gt il wffira
que ce produit lui-même se réduise à zéro ; ce qui donnera Téquation
à laquelle on pourra substituer les trois suivantes
(5) L = o, Jlf = 0, N = o.
En conséquence dtes sis équations d^équlitbre qui se vapfe»tant à va sysIkaM iâvamible libre dans reépace» ks trofs- dernlèrts subsistent sMies » lot sf «e oe systënvs est assufeCti à tourner autour d'un pvtnt ftie » et que cq pt^înt fute eét piri^ pç^r or^;iiie 4ea coer^ données. Ces trois dernières équations expriment que pour le système des fopcos données, le moment Knéaire .principal relatif à l\>pigitte s'év^muil.
Si le système des forçç^ dçnvées était composé simplement de deux forces P^P'f son moment linéaire principal ne pourrait être nul qu'autant que les moments linéaires des deux forces seraient éçaux et directement opposés » ou » ee qu) re?ienl au même , qu'autant que les deux forces seraient comprises dans u» naéne pivi passant par l*erigine , et auraient dans ce plan des moments égaux. On arriverait aux mêmes conclusions» en partant des équations (3) » qui» dans le' cas présent» prendraient la forme
Pp cos> -f" P'p^'co$y = o »
Pp cosfi+ P^p'ee%^^:=ai 0 »
Ppeo8v + P^p'cos'/=io.
L'équilibre i}ue nous considérons ici est évidemment celui d^un loTier coudé qui a pour point d'appui l'origine des coordonnées » et pour bras les droites inyariables menées de cette origine aux points d'application des forces P^P*. , Les deux forces» dorant avoir des moments égaux dans le cas d'équilibre » seront alors en raison inverse des perpendiculaires abaissées de l'origine sur leurs directions. Si le levier est droit» et que Iqs deux forces soient parallèles » on pourra substituer à la raison inversç des perpendiculaires la raison inverse des deux bras de levier.
Pftsaon» iMifllOBaAt A rAf«flibfee d'iu syalène iavarini^le êiMour do im^ PQWM fae$,
sera déterminé par l'équation
Ir
L'orjpwk «^ tJPW«#nt ai(^^ ffir 1>|» fix^ * cjt par 8|ii{^ é^At ^l^^^^W^ fi^f^ » ^ on, I # applique, ce qui est permis, la première force du couple aussi bieo que la force JR , la seconde force da couple pourra ê^9 pcod^iro vm ipouvement de rotation du système invariable autour de l'axe fixe. Pour que ce mouvement devienne imposs^}A^il.sera n^^ cess^ire et il su£Bra que la secondp force du couple agisse suivant une droite qui coupe Taxe d«s z, ou , en d'autres termes , que le plan du couple passe par l'axe des s • Cette condition sera remplie si le moment lij^éaire d.9 Çoi^jj^Iq est PQr|[eiidic;v{<|ire ^ l'iixe des s, auquel cas £^ pro)ecty)n algébriaue sur cet ai^e^ ç'c^tni-rdiVe» ]a C[uantit<} N,, deyra se réduire è ^éro, Donç^ pctur le système ii^v^r^i^ble as,fuj<etti ^ to^rper autour de I^ des z, une s^le é^ualioq d'é(}uilibre sot^siitç, MVçir, l'^uation
ir=9.
exprime b condition unique d'équilibre dan* le cm où l'on fixe l'axe àet y, et l'éqoatioB
dans le cas où I'od iixe l'axe des x.
Si le système mvariable pouvait, non-senlèmèoi tourner aatoar de Taxe des z , mais encore ^lisi^ parallèlement ft cet axe , il Cadrait à l'équation 4*éqnilibre
loindre la sinvante
Zs?o.
fl « A
Ea eScl, les istcea da couple poavani être ceDséea agir aw^Mt 4«R» 4MUfit fn$iiti4P
entre elles; m'àfi p^pendicolà'irei8'& l'axb; poar* quH n'y eût pas; ddns'rhypôthèse admise, de. inouténient dati^'be* sëijs de Taxe,' il serait héée^saire, et il suffirait qne la force principale R devint elle-même perp'eikllbîildre à l^axe. Or , cette condition se trouve exprimée par la formule (5).
Si plusieurs points du système invariable étaient assujettis à demeurer dans un plan Axa do|m^j4<^:P.iisitM)i>,!^ârD^W#MpJk*f4ûn j^lantd^ >^as«^^. .on dtefOmpoMraît le système de forces qui correspond aux six quantités
t ' à lit
eVi'Méujc' autres tellement èhmdis^ qiie ées six quantités devinssent re$i>ecttrement
pôtrtrie premicfr, et '
. • ri
Ji, r, O, O, O, iv
pour te second: Le premier'des nouveaux systèmes de forces serait rédMClIbTe ou à une
force unique 'parallèle àTaxe^des' z^^ ou 4 un couplé Âede^x forces qui, se trouvant
compitises dans' un plaù' parallèle à i axé , pourraient êti^e censées dirigées dans ce p^an
suivant deux droites paràHèlès à ce même axe'; et , comme , dans Thypothèse admise ,
les forces parallèles à Taxe des a ou perpendiculaires au plan des x ,y ne sauraient
produire aucun eflfet, il est clair que ies'fbrceis du second système seraient les seules
qui pussent troubler l'équilibre. Or,- ce second èystèâie peûft^évideminiBèt W'rèdiiire
soit à une force unique comprise dans le plan des x,j, soit à un couple de deux
forces renfermées dans ce même plan » à moins que les trois quantités
X, Y, N ne s'éranonissent , c'est-à-dire , à moins' que Tbo n'ait à-Ia-fois
(6) J M J , , ^^^O, y=:zO, iy=.o.
S.i ces trois équations ne sont pas vériuées, la force pu le couple équivalent au second fiystème tendra certainement à produire un mouvement de translation ou de rotation des points situés dans le plan des x^jr, et l'équilibre ne pourra subsister. Au contraire , si les conditions (6) sont remplies , les forces comprises dans le plan des x,y pourront être remplacées par une résulfcaùfé' nulle » d'où il suit qu'elles se feront mutuellement éauilibre. Par consécjuent, dans l'hypothèse -admise » les conditions d'équi*
II est bon de remarquer que l'espèce d'équilibre dont nous venons de nous occuper en ce mooàènt , eomprend , comme «as particulier » U6quiUbre de plusieurs forces ,siluées dans le plan des âD^y, ot appliquées dans ee plan à mu système de points infarlable, que Ton suppose entièrement libre.
De même , l'équilibré d^un système invariable assujetti à tourner autour de l'axe des 2» comprend» comme cas particulier» l'équilibre de plusieurs forces situées dans le plan des x^j, et appliquées dans ce plan à un système invariable de points ,. assujeUi à tourner autour de Torigine.
11 suffit, au r«ste» ^ comparjer cet article et-J'artido-précédoBt au chapitre II de la statique de M. Poinsot , pour reconnaître l'analogie et la liaison qui existent entre la théorie dea moments liAéaires et la théorie des couples.
ite^ittéa^
Stm UN THÊOBÈMOE D'ANALYSE.
{Eoarait du Btilktin de la SocUii pkilomaihi^ufif )
TflfcoBEKE. Soient
deux polynômes en x, U premier du degré m , le second du degré n ; $oit d^ailleur» B une quantité constante. On pourra toujours former deux autres pofynomes u , v , le premier du degré n — i , le second du degré m — i , et qui seront propres à vérifier Céquation
(5) uf{x)+vF{x)=It.
Démonstration. En Teriu de la formule d'interpolation de Lagrange , la somme des produits de la forme
^Flx) ^ (4i.^)(a.c)...(a*^)(a-B)(«-C)... ~ r{a).F{a) '
et des produits de la forme
9era équivalente à R. Par coiuéqa«it on Térifiera l'équation (5) en prenant
„t \ai-A I ^ \ x-B ) , \ x-C I ^ .
(^) «=^i f(^).FV) HB).r{B) ■+■ f(C). F'(C) -»■**«••• i •
/ (i(fL\ f f(«) \ ■ f f («) \ .
(«).f'(«) ^ F(*).f'(6) ^ V(c).f'{c) Pooc« etc.
Noia. Si l'on voulait déterminer directement les polynômes a et x de manière à Térifier Téquation (8) , et ^ en réduisant leurs degrés aux plus petits nombres possibles , à suffirait d'observer qu'en vertu de cette équation Ton doit avoir ,
pour a> = ^, tt=^.^> ; pour x=B, ^^^J7nT» c^c••••
pour aB = a9 ty= ^. > ; pour flBr=fr» ^^^vTFT' ^^••'
On connaît donc n valeurs différentes de « , et m valeurs différentes de v . Cela posé , les polynômes les plus simples que l'on puisse prendre pour u et v denont élro en général le premier du degré n — i , le second du degré m — i ; et tt on les détermine» par la formule de Lagrange, à l'aide des valeurs particulières que nous venons d'obtenir, on retrouvera précisément les équations (4) et (5).
Corollaire i.** Supposons que Ton prenne (6] R=kmKn{a^jfj («— S) («— C).. (Ih^A) (*— 2?) {b^C)..{c—A) (e^B) («— C).. .
ou, ce qui revient au même ,
(7) R = k'nV{a).F{b).¥{e)...= {—i)'^'^K'^t{A).t{B).t{C)...
Le premier des deux produits
sera évidemment une fonction entière et symétrique des racines de l'équation f (a?) =o , et par conséquent une fonction entière des quantités
tandis que le second sera une fonction entière des quantités
m, €••• , Pp i;-jj^ K'K '
Ce» conditions ne peuvent être remplies simultanément qu'autant que la valeur de Jï, ^terminée par la formule (7) est une fonction entière des quantités A, (... ,p. 9 ; 1^. t... , P, Q. Ajoutons qne, si Ton adopte cette valeur de il, les équations (4)
•t (5) se réduiront à
( jÇa)
(8) «-(-t)'»'.^'. .(^-^(^-d)('^-z»'...(ii-c)(«-iiJV..(c^©)..:' ' '
. F(A).F(c)..F(rf)...(*-c}(6-rf)...(c-rf)...(a!-6)(ai-«)(aî-rf)...+ eec. ^^^ (a-^){a-c)(a-i/}...(^-c}'(^-rf).-.Cr-rf)...
Or, les deux termes d| la fraction que renferme FéqU^tion (8) sont des fonctions aturnées des quaiililés A* B»C\ D... , i^eét-à-dire , 4f s fonctions qui cd^llonneot des valeurs alternativement positives et négatives » mais^ toutes égales , au signe près , lorsq^'on érfjftflge fç§s f^im^tés ^n^ d\^. ^ plvp, M fftnÇtipW ^Itef^ée ^u^ r^ppi&ejptç fe d^oi9ia^t^r,.é(§pt Wl^IvA 9ii»pfo ^0 #oq ^^» dîvinw» crf|^ qj^i forw 1« P»in^*r«t^ur [voyfti la fpnfni^ f^ftie ^u Caiir# de Cffçqk ffiljififihhi^^ f f^fP 751- W en
résulte que le rapport — sera une fanction symétrique et entière des racines dé Téquation F (œ) = o. Donc par soite u sera une fonction entière des quantités
. , , jr L P Q
itj iw •,, p , çî i\ p — *75"'lt"*'
et de la variable x . Par la même raison v vera une fonction entière des quantilés
K F. P n* le — -^ -î.
et de ta variable x^ On doit en conclure que u et v seront équivalents ou à deux fonctions entières des quantités œ^k,t.*»*,p,q; K, L. , . . , P, Q; ou à deux semblables fonctions divisées , la première par une puissance de ^9 la seconde par une puissance de A* Or, R désignant dépi une fonction entière des quantités k, l.... ,p, q ; K^L. .., ^P,Q, et les quantilés u,v devant satisfaire k Téqufttion (3), la seconde supposition ne .saurait étrç admise. Donc, si Ton attribue à A la valeur fournie par Téquattjpn' ffi) ou (7) , H ^ u eï v seront des fonctions entières des quantités k ,.L. . , , p , q ; K, L. .. , ^ P,Q, et de la variable œ , qui entrera seulement dans a et v . D0 frfps , il 94» mi ite FPÎr qw., d#» c^^ 4^9? ^ftiVi wU^es , les coë'fficients numériques seront toujours des nombres entiers»
Corollaire s.* Dans le ciy où^'ra supposç k^^i. K^=z » , les équations (6) et (7) se réduisent aux suivantes r
(*9) li^i^—^)(A-^.Ji)kf-nC)».{trTTAi{kiTr^)0-r^),.uJlfirrr4)ie^
(1.) /î = FCa).FC6).F(c)... = (,)".»fC^).fCiî),fJ^Ç^,
( id5 )
Ce cêê pifti^ier, aa^el ôb tamène faeiieiMAt toui lise autres, est celai que nous afons OMskiéM dans le Mémoire présenté à l'Institut le sa février i6^4-
Corollaire 3.* S^our que les deux polynômes {{x)f ¥{x) se changent en deu& fonctions entières de x et y^ la première du degré m , la seconde du degré n »
il est nécessaire et il suffit que les quantités k, l.... g p,q et K, L PtQ
demnHeAt de^ foActioiM entières de j , de* degMâ représentée pur les nombres o»i....mr^i, m, et par lés HOHobreé ô, I»... H«^i, to. hloti, léë rapports
i D ♦ . ^ PO
^^ • * • • P «■.« • mi 9 ^"~ • • • • f ^^, P ^
se réduisant à des quantités finies pour des valeurs Infinies de jr^ «n pourra en dire atttant dee valeari dé » propres à férifier les deux équations
<raî'"+-aj'"-'+..,4-tri:^ tf 1- -^ = o , et £fl6» + -^ **-' -h ..- f-r^^ae + -^ = o , y y* ' y" y y y*
c'est-à-dire des rapports
€ h c ABC
et du sui?ant
7*" \y y I \y y I \y yj \y y I \y y I \y y) \y yi\y.yi\y yl
Cela posé , la tHéût de È , fournie par Téquation (6) ou (7) . sera évidemment une fonction entière de j> d'un degré inférieur ou tout au plus égal au produit mn. Depltls, éi, dans (5ètte hjrpbthèse, on écrit t{x,y), ¥{x,j), au lieu de f(x) et de F (âb) » la foribûle (5) deviendra
H uî(x,j)+vr{x,jr)=B,
et il est clair que toutes les valeurs de j" , qui permettront de vérifier simultanément les équations
U5) f(»,J> — o. F^lft,jr)±io,
deyront satisfaire k l'éqnMion
CaroUairc 4«* Il mit du coir^Uaire précédent , qtt*élant dolmées deux équations al-
gébriques en as et ^» rime du degré m, Tautre du degré n». on' pourra i<m* jours en déduire , par rélimination de x, une équation en j^^ dont te degré sera tout au plus égal au produit mn. De plus» on. formera aisément le premieri membre de Téquation en y , par la mélbode fondée sur la considération des fonctions symétriques.
CoroUaire 5.* Lorsque les quantités k, l. ., ^p^q ; KpL... , P^Q, c'e§t-è-dire, les coefficients des deux polynômes ({x) et F(â?) se réduisent, aux signes près» à des nombres entiers , on peut en dire autant des coefficients des fonctions u et t; déterminées par les formules (8) et (g); et la valeur numérique de la quantité i7. donnée par Téquation (6) bu (7) . est pareillement un nombre entier. Dans ce cas , sî une même valeur entière de x rend les polynômes t{x) et ¥{x) divisibles par nn certain nombre p , on conclura de la formulé (3) que p est un diviseur entier de R. En d*autres termes» si Ton adopte la notation de M. Gauss » les formules
(i5). *" f(a3) = 0 (mod,p) Qt F(x) =0 (mod.p/
eniratneront la suivante
(16) if = o(mod. p).
A Taide de cette dernière formule , on déterminera facilement tous les nombres entiers qui pourront être communs diviseurs des deux polynômes ({x) et F (a;). Le plus grand de ces nombres entiers» ou te plus grand commun diviseur entier des deux poljnomes» sera précisément la valeur numérique de R. Si cette valeur numérique se réduit à l'unité » les deux polynômes n'auront jamais de communs diviseurs; ils en auront une infinité , si elle se réduit à zéro.
Corottàire 6.* A l'aide des principes ci-dessus établis» on prouverait aisément que, si Ton donne plusieurs polynômes ou fonctions entières de x» jr, e... dont le nombre surpasse d'une unité celui des variabjes qu'ils renferment » et dont les coê'fficients soient entiers, on pourra former un nombre entier qui sera divisible par les diviseurs commuas de tous ces polynômes. Si l'on considère en particulier trois polynômes de la forme
(«7) F(«.j). ({x) et t{j)..
on trouvera que le plus grand nojnbre entier qui puisse les diviser simultanément est égal , au signe près » à la valeur de R déterminée par Inéquation .
' (18) /l = lîC'"'^'"+'>F(a,fl)F(a,A)F(a,c)...F(A,flr)F(A,5)F(6,c)...F(c,a)F(c,6)F(tf,c)..., a , 6 , o. . • • désignant les racines de i'équatien f (as) =s o*.
( i«/5 ) CaroUaire 7.* Toat nombre premier p » divisant nécessairement le binôme
9) œ'-x=x[x-coê i/TTsm sd-cos i/-i sm ...(a-i) »
qneDe que soit la râleur entière de x, il suit du corollaire 5 » que tout diviseur premier p d*un polynôme T{x) divisera le produit
(.0) Jf = F(o)F(co.^ + |/Tsb^)F(co.^+|/:r«nil)...F(i),
qui peut être présenté seos b forme
i«i) R=zdt,ABC.... {A'-* — i) {B'-'—\) (C'-'— 1)... ,
lorsque, le coefficient du premier terme de F(cd) se réduisant à Tunité» l'on désigne par A f B^ C... \e% racioes de l'équation F (x) = o . Si l'on suppose en particulier
[n étant un nombre premier quelconque], on trouvera
^ == o , ou il = it: «-,
saivant que p sera ou ne sera pas de la forme de na) «f-i. Donc Tes nombres premiers impairs de cette forme sont les seuls qui puissent diviser le binôme (C-4-i, sans diviser sc-f-i. Cette proposition était déjà connue.
Corollaire 8.* Tout nombre premier p , divisant les deux binômes x^ — x , et j' — y, quelles que soient les valeurs entières de x e% y, ne pourra diviser le polynôme V^x^y) t sans diviser le noinbre qui représente, au signe près, le second membre de l'équation (ïé), dans le cas ot» l'on prend pour a, é, e... les racines de l'équation x' — ss = o •
On pourrait étendre considérablement les applications du théorème ci-dessus démontré [page 160]; mais, nous nous bornerons pour le moment à celles que nous Tenons d'indiquer»
Posi-icriptum. Le théorème qui fait l'objet de cet article , peut être facilement déduit du calcul des résidus. En effet , si , dans la formule (Sg) de la page 11a. on pose
< iè6 )
R désignant tinë quantité cbnlkante , et f(a;),F(a3) deux fonction* entières de a: , on trouvera
f(*).F(*) -^x.t {{i{,).¥{z)))-^ (*-«)fW ((FW))"*" (*-«)F(») ((f(*) )) •
et i^à^ iuKe
(") ^■='^-^ ^ (.-» f(.) ((F w )) + ^(^) ^ (.-^Vw (^f(.) )) •
Oa aura donc
(3) ttf(a!)+»F(a»)=fl,
pourvu que l'on suppose
r JF(a?) I r Rf(x) .i
(35) u 0 (^.,jf(,) ((F(.))) ' ^-^(a;..)F» ((f(.))) •
Or, les valeurs de u ei v, déterminées par les équations (aS)^ se réduisent évidemment à des fonctions enlières de x , dont les degrés sont inférieurs d'une unité aux degrés des fonctions proposées F (a;) et ({x).
SUR QUELQUES TilANëPORMATf0N8 APPLICABLES
ET au a 1^ G^AHopiniiT 99 yaaiabLb issÉPtp^^m^àS&ÏJUiAU^h des résidus.
Nous avons déjà remarqué [page i54] que l'on peut, daos un grand nombre de cas, substituer au résidu intégral d'une foncticp donnée un résidu relatif à une valeur nulle de la variable. Des substitutions 4^ mJ^M gf^T^ peuvent encore être effectuées à l'aide de quelques autres formules que nous allons faire connaître.
Considérons d'abord une fonction f{z) qui devien^ie infinie par 2 = 2;,; et supposons que l'on puisse assigner au nombre entier m une valeur tcRe que le produit
s'évanouisse; ce qui arrivera nécessairement^ si la fonction f{z) est développable en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières , mais positives ou néga*« tives, de la variable 2. Je dis que le résidu de la fonction donnée f{z) , relatif à la valeur s = z, s'évanouira , en sorte qu'on aura
Effectivement , ^î l'^n rep^j^senfe par f (&) le produit (i) , pu, en d'autres tprmeç., ^ l'on pose
on trouver»
et par suite
((»-«.)) ~ (((«-«.rT •'"*♦' (((....)*±i]^ ^ *,.J...(m.i) "• I. ..5... m — *
( '68 ) Od pourrait encore démontrer la formule (i) de la manière «airante. Si Ton déreloppe la fonction |S) en une série ordonnée sairant le$ puiasancei atcendaiiles de ^ *— ' ^i » on trourera
i.a. 3...m i.a.3...m(m<fij \ / •
et par conséquent
f(«4.0(«,)4.etc....
1. 3. 5... m(m<f i) Or » le second membre de la formule (6) ne renfermant point de terme proportionnel
h la première puissance de ' , on en conclut immédiatement que le résidu de la
fonction dérÎTée f'{^) $ relatif à la râleur z^ de la variable z , se réduit à séro. GoncoTons maintenant que l'équation
admette plusieurs racines réelles ou imaginaires Sg » t» » S) . . . • , et désignons par C Tune quelconque d*entre elles. C sera encore une racine de Téquation
Car, si Ton représente par i une quantité infiniment petite « la fonction
s'éTanooin pour • =: o ; et , en vertu da thAoréme (5) de la page 1^9 > !• rapport it cette fonctioQ k ta dérÎTée, c'est-k-dire, h fraction
( «69 ) s'éTanouira de môme avec^ t ; ce qui ne peut avoir li^u qu'autant que la fonction f\z) deYiendra infinie» ayec f{z) , pour ^ = ^ • On peut ajouter que , si la fonclioQ f\z) devient infinie, et fournit un résidu différent de zéro, pour une valeur donnée s de la variable z, s sera nécessairement une racine de Téquation (7). En effet , soit A le résidu dont il s'agît , et
le développement de /'{z) suivant les puissances ascendantes de z — s. On Irou- ?era, en intégrant les deux membres de la formule (11),
et , puisqu'on vertu de l'hypothèse admise , le premier au moins des coefficients A , A%. . . • A,,,Ar ^ obtiendra une valeur di£rérente''de <éro, il e^ clair que la fonction f[z) deTieodra infinie pour ^ = <. Cela posé, sij pour chaque valeur ; C de «» propre \ Térifier l'équation (7) , on peut choisir le nombre entier m , de manière que la faleur du produit
correspondante à « = (, soit finie et différente de zéro, on aura évidemment, en vertu de la formule (s) ,
De même , en désignant par œ^, X » y^tY des quantités quelconques • on trouvera
(•5) Van')))^o;
nia condition que nous venons d'énoncer se trouve remplie au moins poi)r Jes raiaiiiesp de l'équation (7) , dans lesquelles la partie réelle est comprise entre les limites x., X , et le coefficient de |/!7 entre les limites j« , y.
Sopposons maintenant ! 1 .
On aura
Par conséquent les équations (i4) et (iS) donneront
(18) <î^(UW.x'W)) = -<î^((r'W-xW)).
(.0) V*^((tW.x'W )) = - "^Z ''((r'W-xW )) .
La formule (18) ou (19) subsiste, lorsque les racines des deux équations (ao) —-. = 0, («1) — — =e
férifient les conditions auicqueMes nom anp^osions précédemineot aasiifflliîea les racines do Téquation (7). 8i ces conditions étaient sealemeni Térifiéea pour les racines au l'équation (so) » il.fiiudrait k la formule {18) on (19) substituer Tune dea suivantes
Les formules (18), (19)» (si) et (ss), peuvent ôtre appliquées avec succès au développement des fonctions on séries. Leur easploi « dans le calcul des résidus , offre ifi% avantages semblables à ceux que Ton retire, dans le calcul infinitésimal, de l'intégration par parties.
Nous terminerons cet article en établissant les formules à l'aide desquelles ou poul opérer, dans le calcul des résidus, 'un obangemont de variable indépendante.
Soit z« une valeur de z propre à vérifier l'équation (7). Soit de plus t, uuo valeur conrospoudanl^ de la variabia t liée à la vdriai>b z par Téquation
et coocevon* que l'on veuîne transformer le résidu
( »7» ) de manière que le signe l, se rapporte , non plus à la fariable z , mais à la variable t considérée comme indépendanle. Si Téquaiion (7) n'a qu'une seule racine égale ^ z, , le produit
obtiendra une Yalour finie pour zzssz^, ou , ce. qui revient au même , pour 1 = i. , et cette valeur sera précisément celle du résidu (aS). D'ailleurs on a généralement» pour 1 = 1,,
à moins que la fonction dérivée Y[^) no prenne une valeur nulle 00 infinie pour < = r,. Donc, si Ton excepte ce dernier cas, le résidu (aS) coïncidera nécessairement a?ec la valeur du produit
correspondante à i = i« , et par conséquent avec le résidu de la fonction
relatif à la valeur I, * de la Tariable t. Oo aura dooo alors
Concevons maintenant que l'équation (7) admette m racines égales à s, , m étant un nombre entier quelconque. Alors , si Ton représente par t{z) le produit
on trouvera
et par suite
pourvu que l'on suppose
+TT^f'""(^') + - — T^^^T-rTf""""H*.) +etc.... 1.9.0... m ' a 1.3.5... m (m+i)
Or» OD tirera de l'équalion (3s), en y remplaçaot s par 4'(t) »
(54) nmi=fim^+ ,,3..^.^ i;:;:;^);
etj'on' en conclura
(25) ^ ((Tô)
r rfr ^'-oç..) f (<-t.)f(<)
D'ailleurs, ^{t) étant une fonction de z déreloppable suivant les puissances ascendante»
de z — z, , ^[^(()] sera en général une fonction développable suivant les puissances
ascendantes , non- seulement de la différence ^{t) — ^(U) > mais encore de ( — l . , On aura donc , en vertu de Téquation (9.) ,
(56) . dt
et par conséquent la formule (35) donnera
((^-e.)) i.a.3...(m-i) ^ ((/W.))[^;(0- + ('OI
De plus , £1 la fonction Y{t) prend une valeur finie cl diflcrenlc de zéro pour t:= r,, on pourra en dire autant du rapport
(58) HO-'Kt.)
( 173 ) dont les logarithmes réels ou imaginaires seront en générai des fonctions de i développables suivant les puissances ascendantes de t — I, : et » comme , en désignant par v(r) un de ces logarithmes pris dans le système dont la base est e, on trouyera
on aura , [ en Tertu de Téquation (a)] >
Cela posé , la formule (Sy) se réduira évidemment à
c'est-à-dire à l'équation (5o).
Si la fonction "^{l) obtenait» pour l = lit une valeur nulle ou infinie, on pourrait en dire autant de la fraction (38) ; et Téquation (3o) cesserait d*aYoir lieu. Concevons que, dans cette même hypothèse, la fraction
fians laquelle fA désigne un nombre quelconque » obtienne une valeur finie difféVente de 2éro. On trou%cra, en désignant par v(l) l'un des logarithmes Népériens réels on imaginaires de la fraction (42) » et en ayant égard à la formule {9)',
Par (uile, U formule (S;) donnera
( »74 ) T«He est réfuaiîott qni , dans rhjr^oihèse admise» derra remplacer la formoie (5o)«
Supposons à présent que , l'équation (7) ayanjt plusieurs racines réelles ou imaginaires z, , r» , Zi , on propose de transformer le résidu intégral
en un résidu dans lequel le signe £ se rapportée la variable t . Si Téquation («4)
fournit pour chaque valenr de z une seule râleur de la rariable t , on aura évidemment , en vertu de la formule (5o) ,
(47) l ((/(«) )) = l ((/[+(0].no )) .
Si , au contraire » m désignant un nombre entier quelconque , l'équation (s4) fournil , pour chaque valeur de z, m valeurs de la variable l , on aura » toujours en vertu de la formule (So) ,
(4«) <{^ ((/(»))) = "» <S((/[+(0]-nO )).
Il réstrhe d'ailleurs de la formule (45) que Téquation (48) s*étend au cas même où plusieurs des valeurs de t , tirées de l'équation (s4) » deviendraient ^ales entre elles pour une valeur ^ Aq z propre à vérifier la formule (7), c'est^ii-dire, au cas où l'équation
résolue par rapport à t » aurait des racines égales.
Si, h fonction /{*) étant donnée par l'équation (16), 00 voulait remplacer la variable z par la variable t, non dans l'expression (46) , mais dans la suivante
il fàudrah éWdeiomeiit MbstUoer à féquation (io) ou (48) l'une dei deux formules
(S>) l ((f (*) ))z(») = l ((tC4'(0].n«) ))xiHt)) .
(5») l ((?(«) ))x(») =m C ((îucoi-no ))z[+(oi .
(■75) Il est Lon d'obierver que , dam lu formules (3o) , (4&) ■ (4?) > 6lc< . . . , la lonction
Pour montrer uns «pplicatton des fermulei obtentiet dant cet article , suppottmi que l'on ait
,55, /(., = ^f(iîi^) ,
el que , < := s. déiigaant une racine de l'équation (7) , on propose de transformer le résidu
«D substituant k la rariable imaginaire t une autre variable imaginaire t liée Ii la première par Téqualion de condition
que l'o
>n peut écrire comme il suit
II est clair que, dans cette hypolbèso, li la valeur t, de la variablo s correspondra une aeule râleur l, de la variable t. On devra donc recourir, ponr la Iransformalion du résidu (aS) , i h Formule (So). D'ailleurs , on tirera de l'équation (34)
t\ par conséquent
Cela posé, on conclura de la formule (5o), en y lempbcanl -^'(i) ]ior —,
^581 r '-'. ' .lt+^\r^\. I f '-.'i AO
L'équation (58), combinée avec l'équation (53) de la page (io4)» conduit, comme nous le montrerons plus tard , h des résultats dignes de remarque.
.On pourrait encore» à Taide des principes ci -dessus établis » opérer un cbangement de variable indépendante dans un résidu pris entre des limites données. Seulement les limites placées à droite et à gauche du signe C ' ^^^ ^^ nouveau résidu , ne
seraient plus celles de la nouvelle rariable t, et du coefficient de \/TT dans la même variable. C'est au reste ce que nous expliquerons avec plus de détail dans un autre article.
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