DES LIGNES ET DES SURFACES
L'illustre auteur de la mécanique analytique a étabG sur de nouvelles bases la théorie du coQtact des lignes et des surfaces. Il a fait roir que, si deux courbes planes, représentées par deux équations entre des coordonnées rectangulaires x^y» renferment un même point {P)» pour lequel les dérivées de Tordonnée y prises par rapport à x^ depuis la dérivée du premier ordre jusqu'à la dérivée de l'ordre n , ne changent pas de va« leurs, quand'on substitue la seconde courbe à la première, une troisième courbe ne pourra passer entre les deux autres , è moins que les quantités 7' > /^ • • 7^"^ > relatives à la trobîëme courbe , ne reprennent , pour le point (P) , les valeurs déjà calculées. Donc, si cette condition n'est pas remplie^ les deux premières courbes seront plus rapprochées Time de l'autre que la troisième. Telles sont les considérations que I^agrange emploie poor donner une idée Ae ce rapprochement des courbes que l'on nomme communément contact ou osculation , et que la manière ordinaire de concevoir le calcul diilérentiel faisait regarder comme une coïncidence plus ou moins rigoureuse , plus ou moins étendue, quoique, à proprement parler, comme l'observe cet auteur, la comcid^ice de deox courbes tangentes ne s'étende pas au-delà du point de contact. Dans la théorie de Lagrange, l'ordre de contact des deux courbes planes n'est autre chose que le nombre n , c'est-à-dire ^ le nombre de^ teiimes jauccessifs de la sérip
(0 y'^y'fy
qui conservent les mêmes valeurs relatives au point de contact , lorsqu'on substitue la conde courbe à la première. Ajoutons que l'auteur étend cette théorie non-seulement ans courbes à double courbure , mais encore aux surfaces courbes. Il mesure Tordre de contact de deux courbes à double courbure , représentées comme par deux équations entre trois coordonnées rectangulaires x,y, z, à l'aide du nombre des termes successifs qui^ dans chacune des séries .
Jff
. ( 178 ) conservent les mdmes valeurs , relallres au point de contact , lorsqu'on substitue ta seconde courbe k ht première; et il en conclut que , si deux coudies tracées dans l'espace ont entre elles un contact de Tordre n, une troisième ne pourra passer entre elles, sans avoir avec ces mêmes courbes un contact de Tordre n ou d*un ordre plu» élevé. Pareillement , il mesure Tocdre. da contact de deujL surfaces courbes dont chacune est représentée par une seure équation ehlre trois coordonnées rectangulaires x,y, s, à l'aide du nombre équivalent à Tordre des dérivées partielles de z qui forment les derniers termes dé la suîle
dJi dx ^ d^% d^^t, d*9 ^ d^t d'r d^t d^t.
dâ* Ji* rfï\- dAdy' ày^ ' dx^ ' dx^dx ' dxdjf^ * 'dp'
p etc**»»-
etk supposant que Ton arcâte cette suite à Tinstant m£me où Ton rencontre uh' ordre de iéfhée^ ^ ne coosecvent pa& toutes, tes mêmes valeurs » relatives au point de contact, q^awl oni substitue Tune des^ sur^Kce^k Tautre; puis il attribue au contact de Tordre ffs , eetro deux sarfaces données;, ce principal caractère qu'une troisième aHcface ne pNMiJ^ pa^MT entre les deux* premières ^ san$ avoir avec elles un contact da même ordre, ou d'u». ond^O; plus* élAvé*
Quoique ht lèéorie que nous venons de rappeler 'ait Tavantage de présenter gékiéra • fement nne idée assez nette du contact de deux courbes planes, elle paraît laisser encore , sous le rapport de la rigueur et de la précision » quelque chose à désirer. O'abordt- elte lait entrer» dans Iti définition de Tordre de contact de deux courbes oa surfaces courbes , Tindication ètx système do* coordonnées que Ton emploie , tanAs qu*en réalité cet ordre dépend uniquement de la nature des deux courbes ou des deux surfhces. Lorsqu'on adopte cette même théorie » le rapprochement plus on moins considérable de deux courbes qui se touchent est mesuré par l'intervalle qui s^are deux points situés sur ces deux courbes dans le voisinage du point de contact, mais à des distances do ce point inégales entre elles , et dent le rapport varie avec la direction des axes coordonnés. De plus , quand il s'agit de courbes à double courbure , on ne voit pat bien dattemeat oe fu'oa. doit entendre par nnO' ooorbe qai passe ou ae passe pas QQtce deux antres^ Une dîifioulié dn nèe^a geiure existe à Tégardr d^ suifaeea courbes. Venir Ih faire mieusfc compsendre , eonsidérona lee doux surfaces du trossièHus degré vepcéseolées par loe deux Apitionsi
(4) z = — x^—y*, (5) nz^^^+y^.
Ces deux surfaces qui se touchent K Torigine , où' elles ont entre elles un contact du troisième ordre , en offriront un du premier ordre seulement avec la surface cylindrique représentée par Téquation
Donc , en rertu <!es principes ci-dessus mentionnés , la sorfat^ cyFîndrique ne sânrait passer entre les deux autres. C*est pourtant ce qui arrivera , du moins pour la portion de la surface cylindrique qui sera très -voisine dé l'axe des y^ et, en particulier, pour les points situés sur cet axe. Car ces points seront compris entre les courlies sui* vanl lesquelles les surfaces (4) et (5) se trouvent coupées par le plan des y,«, c'est-à-dire , entre les deux courbes renfermées dans le plan des y»z et déterminées par les équations
kl) « = -^J^ (8) *=;y*.
Enfin, la comparaison des valeurs que fournissent deux courbes ou deux# surfaces tangentes Tune à Tautre pourries différents tcfrmes des séries (i), (s) ou (3), ne sorifit plus à la détermination de Tordre du contact, lorsque Fangle formé par la tangente commune aux deux courbes avec Taxe des a;, ou par le plan tangent commun aux deux surfaces avec le plan des a;, 7, est précisément un angle droit. Concevons, par exemple , que Ton veuille comparer deux à deux les trois courbes représentées pat* les équations
(9) «=y*. t«o) ^—y^^ (il) «=y*-
Ces trois o<nirbes qui 'se ioucbSDt, et dont Ja Itagenie ceniBMine ooîotide avec r«xe des y, fourniront, pmir les dépinées stiocessives de rordotmée y^ Ata vdleurs qui deviendront toutes infinies quand on supposera ce 2=0. Cependant le centaot'dela première courbe arec 'chacune des deux autres sera «euleméot ^u premtor ot4re ^ ol le contact des deux dernières sera seulement «du Iroiéième ordre.
Les difficultés que tious venons d'indiquer disparaissent, lorsque, potir établir la théorie du contact des courbes et des surfaces , on .a recours aux principes que nous
allons exposer.
D'abord on définit aisément la tangente. à une courbe, en la considérant comme la droite de laquelle s'approche do* plus en plus une sécante , qui coupe là courbe en deux points^ tandis que l'un de ces points demeure fixe et que l'autre s'approche indéfiniment do premier. Il est d'ailleurs facile de prouver qu'en général les tangentes menées par un point d'une surface courbe à difl!*érentes courbes tracées sur cette surface sont comprises dans un même plan , et l'on établit ainsi l'existence de ce qu'on appelle le plan tangent à une surface courbe. Enfin , on dit que deux courbes 'OU deux sorfacefe eourbei sa touchent en un point donné j quand eUci ont «n '4e point Jk «nnôme tangenle (Ni le loi^aie plan tangent
Cela posé , considérons deux coarbes planes on à double courbure qui se touchent en un certain point. Si de ce point comme centre » et avec un rayon infiniment petit désigné par i, on décrit une sphère , la surface de la sphère coupera les deux courbes en deux nouveax points très-Toisins l'un deJ'autre» et le rapprochement plus ou moins considérable des deux courbes » à la distance i da point de contact , aura éyidemmcnt pour mesure la longueur infiniment petite comprise entre les deux points dont il s*agit» ou» ce qui revient au même , la corde de l'arc de grand cercle renfermé entre les deux courbes. Ajoutons que les rayons menés aux extrémités de cet arc seront dirigés suivant des droites qui formeront des angles très -petits avec la tangente commune aux deux courbes; d'od il résulte que Tangle compris entre ces rayons sera lui-même une quantité trèspetite. Soit e» ce dernier angle. L*arc de grand cercle compris entre les deux courbes aura pour mesure le produit
(ta) i^r
et la corde de cet arc sera équivalente à
(i5) assm — .
Si les deux courbes changent de forme de telle manière que , se touchant toujours au point donné » elles se rapprochent davantage l'une de l'autre dans le voisinage de ee point, les valeurs de Texpression (i3) , correspondantes à de très-petites valeurs de i, diminueront nécessairement; ce qui suppose que la fonction de i représentée par w diminuera ellenadéme. Si , au contraire , en vertu du changement de forme , le rapprochement des deux courbes devient moindre» les valeurs de oi correspondantes à de très-petites valeurs de i croîtront nécessairement. On peut donc a£Qrmer que , dans le voisinage du point de contact , h rapprochement de» deux courbée sera plus ou nwifis considérable, et leur contact plus ou moins intime, suivant que les valeurs de u, correspondantes à de très-petites valeurs de i, seront plus ou moins grandes. De ce principe joint au théorème i.*' *de la page i^6, on déduira immédiatement la proposition suivante.
i.** TnioEâiiE. Si deux courbes se touchent en un point donné {P) , ^t que ton marque sur ces deux courbes deux points (Q) » {B) situés à la distance infiniment petite i du point de contact , le rapprochement entre les deux courbes , dans te voisinage de ce point , sera d'autant plus considérable , que Cordrt de la quantité infini-ment petite o , destinée à représenter Cangle compris' entre les rayons vecteurs
PQ, PB, sera plus élevé.
'^ Démonstration. En efiet , si la forme des deux courbes ou de Tune d'entre elles vient à changer» de manière que l'ordre de la quantité infiniment petite » s'élève»
la vakar oumérique de », dans le yoisinage da point de contact diminaera, en verla du théorème i.*' de la page i46, el par iuite le rapprochement entre les deux courbes deviendra plus grand qu'il n'ékoit d'abord.
Le théorème i.*' étant démontré» il est naturel de prendre Tordre de la quantité
infiniment petite » » considérée comme fonction de la base i , pour indiquer ce qu'on
peut appeler Tordre de contact des*deux courbes proposées. Soit a cet ordre. Puisque le rapport
sin-^tt»
a Tanité pour limite » le produit
— = a sin —
lera encore une quantité infiniment petite de Tordre a, tandis que les expressions (12) ei (i3) seront» en yertu du théorème 3 de la page i48» des quantités infiniment petites d.^ Tordre a^i. On peut donc énoncer la proposition suirante.
t.* THicn&ME. Lorsque deux courbes se touchent en un point donné (P) » Fordre du contact csS infirieur d^une unité à Perdre de la quantité infiniment petite qui représente la distance entre deux points (Q) » {R) situés sur les deux courbes, également éloignés du point de contact, et dont ta distance à ce point est un infiniment petit du premier ordre^
11 importe d'observer que la droite Q R menée du point ( Q ) au point {R) , étant la base d'un triangle isocèle» et opposée» dans ce triangle » au très-petit angle w»
sera sensiblement perpendiculaire aux rayons vecteurs PQ, PR, et par suite à la tangente commune aux deux courbes. Ajoutons que la surface du triangle PQR sera » d'après un théorème connu de trigonométrie » équivalente au produit des côtés égaux
PQ, PR par le sinus de Tangle compris entre eux» c'est-à-dire » à l'expression
(x4} — f'sintt»^
et par conséquent à une quantité infiniment petite » dont Tordre a -f- > surpassera de deux unités Tordre du contact des deux courbes.
Considérons à présent le cas particulier oti les courbes données se réduisent à deux courbes planes comprises dans- le plan des x,yi et concevons que » par les points (Q) » {R), situés sur ces deux courbes è des distances égales » et infiniment petites ^ du
^oifit de eoatàct, on idène^ttt Arôites parattèléB dont cboeane forme a^ec la tangente tofmnnne'an angle fini 9. Be ces decet fmraltèAes , Tune se troayera plus rapprochée que l'aulre du point de contact. Supposons» 'pour fixer les idées, .qne ce soit la droil^ ;iHenée ,par le point {Q) pris «ur la première courbe, et que cette droite coupe la
seconde courbe «n (5), Dans leltriangle QRS, 4e côté ItS^ sensiblement parallèle è 'la ^lÉngenie ctaimone , puisqu'il représentera une corde -dont les'estfémités niUiées sur la seconde courbe seront très-yoisines du point de contact » formera évidemment avec
les côtés QRt QS, des angles finis» dont le premier différera très-peu d'un angle droit, et le second de l'angle i. On aura donc, en désignant toar / et / dei quantités infiniment petites ,
"'(t+0^ Mi+')
(i5) QS= . :. y/ QIt= :' ,' * «csin-.
t)o plus , comme le rapport entre la {Perpendiculaire abaissée do point ( P) êxn tt droite QS f ou sur son prolongement, et le rayon yecleur P'Q = î se» i sfusi-
blcmçnt égal à cos ( — — -^ j =sin ^, cette perpendiculaire pourra et *. ^présentée
•par un pei^dint'de la 4braie
(i'6) ê(sTû»itO»
dbf désignant encore une quantité infiniment petite. Gela posé, ndri. étions que, kl deux courbes ayant entre elles un contact de rt>rdr« a , l'on considère le rayon recteur i comme infiniment petit du premier ordre. Il est clair que l'expression (i6) sera encore un infiniment petit du premier ordre , tandis que l'expression ( 1 5) sera de l'ordre a-f~ !• Ajoutons que l'ordre de cette dernière ne yariera pas [yoyez le 3.* cor<^Uaire du théorème 4 de la page i48] si l'on prend pour base l'expression (i(>) , on une quantité tellô que l'expression (i6) reste infiniment petite du premier ordre. Ccâ remarques snP fisent pour établir un nouyeau théorème que nous allons énoncer,
5.* TnioRÊXE. U ordre de contact de deux courbes planes qui se tonchcnt en un point donné (P ) est inférieur d^une unité à C ordre de la distance infiniment petite comprist entre les points {Q)f{S), ou les deux courbes sont rencontrées par une sécante tfui forme un éngle fini et êensibbmenS différent de tér0 avec la tangente communs^ dans tout système oii ta distance du pùinsde umUutà ta sécante dont il s*agit esS un sufimisnênt ^petit d» premier' ordre»
Si les deux courbes sont représentées par deux équations entre des coordonnées reclangulalres a; , 7 > et si la tangente commune n*est pas parallèle à Taxe dès y, a)ors,
eu suffomnt 1q séeaaie jmrattèle èi ce auSme axe ,. oDt^ déduira* dû) d^rèMA* & la pro^ posîtioiii auifsan^ :
4.* THioBKME. Pour obtenir Cordre de contact de deux courbes planes qui se touchent en un point ou la tangente commune n'est pas'paraUèle à Caxc des y, il suffis dts mener une ordonnée très-voisine du point de contact, et de chercher le nombre qui rep^fésemêe. dmdra ée^ ta portion infiniment petite dJordassnée cemprieù entatû Us. detm courbes , dans le cas ou l'on considère la distance du point de contact à Vombmsièe. comme infiniment petite du premier ordre. Ce, ntmibre ,, diminué d^une unité, indi^uù Cordre de contact.
Corollaire i.** Soient
les équations des deux courbes planes. Elles auront nn point correspondant à une valeur donnée de x, et en ce point une tangente commune, Mb parallèle il- l^axe des jr » si y pour la valeur donnée de x, les équations des deux courbes fournissent des Takaw égalée et finies s ■oo-seulcmenC: du- l'ordonnée y , oaais encore de sa dé^ rivée y', eo. aorte que les éqEealiens»
et
soient vérifiées, et que les deux membres de> ehecime d^eUeseonserveiit éa» vefeurS'S^ nies. Dans cette hypothèse » la différence
qui s'évanouira pour Is^ vatoov de es rabuive a» poinCi contiiiiiii , derie&dr a infinifenent petite quand x recevra un accroissement infiniment petit ; et , si Ton considère cet accroissement comme étaal diApaernief ordr^. Tordre 4^ là f^uaalilé infiniment petite qui représentera la nouvelle valeur de J^ (») — f{x) , surpassera d'une unité Tordre de contact des deux courbes.
Corollaire s.* Si les deux courfafs Sf touchent qb on point de Taxe des y, mais »ans avoir cet axe pour tangente commune, il sufiira , d'après ce qu'on vient de dire, pour déterminer Tordre du contact , de chercher le nçi^re qpx. indîqjaere Tordae d% la différence
(184) en eonsidituii Tabscisse x comme tme quantité infiniment petite du premier ordre , et de diminuer ce nombre d'une unité. En opérant ainsi , on reconnaîtra que les paraboles
(ai) J^ = »S y = x
ont à l'origine des coordonnées un contact du premier ordre , tandis qu'au même poiot les deux courbes
auront un contact de l'ordre n , et les deux courbes
(23) jr=zx\ J = x^
un contact de l'ordre —-.—»• i = — ^
Corollaire 3.* Supposons que les courbes (17) aient un point commun correspondant à l'abscisse x , et en ce point une tangente, commune non parallèle à Taxe des y , avec un contact de Tordre a . Soit d'ailleurs n le nombre entier égal ou immédiatement supérieur à a. La différence
(ao) F{x)—f{x)
sera nulle ; et , si Ton désigne par i un accroissement infiniment petit du premier ordre » attribué à l'abscisse x , l'expression
sera [en rertu du corollaire 1.^] un infiniment petit de Tordre a-4- 1- Or, les dérivées de cette expression par rapport à { étant respectivement
/5"(a5 + f)--/'(« + f), F> + f)— /'(« + e),etc-..., il résulte de ce qui a été dit ci-dessus [pages i45 et i46] qqe
sera la première des expressions
ji[x + i)—f{x + i). F\x + i)^f\x + i)\ F'(x + i)-f%x + i), Ole.,...
( »8S ) qui cessera de s'évanouir arec «• En d'anlres termes,
sera la première des diifêrénces
■ F(x) — /(œ) , F'(x) —/'H , /"'(x) — /'(x) , etc.... ,
qui obtiendra une valeur différente de zéro* On aura doiïc pour le point 'commun
(î5) F (x) == /(«) . F'{x) = f'{x) , F'{x) = f'{x) ,... Fi'>{x)= f<'\x) .
Par conséquent j lorsque deux courbes planes se touchent en un point où la tangente commune n'est pas parallèle à Taxe des y, non^seuleroent pour Je point dont il Vagit Tordonnée y et sa dérirée y ne changent pas de .yaleurs dans le^pas^age de la prezaiëre courbe à la seconde , mais il en est encore de même des dérivées successives j',y..«. , jusqu'à celle dont Tordre coïncide avec le nombre entier égal ou immédiatement supérieur à Tordre du contact.
Corollaire 4** Si» les deux courbes ayant un conta<;t de Tordre a, la tangente commune devenait parallèle à Taxe des y , alors , en attribuant à Tabscisse du poipt ie contact un accroissement infiniment petit du premier ordre , on ne trouverait pas généralement pour la valeur correspondante de la difTérence /^ (œ) — - y*(a;) un infiniment petit de Tordre a 4- 1 • Néanmoins on pourrait encore dét.erminer Tordre du contact par la méthode dont nous avons fait usage» pourvu que Ton substituit la va-» riable j à la variable x p et réciproquement^ Ainsi » par exemple ». pour montrer que les deux courbes
qui touchent à Torigine dé Taxe des y , ont en ce point un contact de Tordre -^ »
I il suffira d'observer que leurs . équations , résolues par rapport à x,^ prennent les
formes
x=y , âî=jr , 4 •
et que la différeikce y —7 est un mfiniment petit de Tordre
quand on considère y comme un infiniment petit du premier prdrot Quant à la différence F{x) — f{x) , elle se réduit, dans cet exemple; h ' ,
cl lorsque Ton considère œ comme un infiniment petit da premier ordre , elte est nne quantité infiniment petite» non plus de Tordre ~ » mais de Tordre — seulement.
Corollaire 5.* Lorsque la tangente commune n'est pas parallèle à Taxe des j» et que Tordre do .Contact .est ua nombre eoiier, il suffit^ pour déterminer cet ordre, de chercher quelle est la dernière des équations
(97) f{x)=iF{x), /'{x)=zF'{x), /'(a;) = F» . elc
qui se irouve rérifiée par Tabscisse du point de contacl. L'ordre des dérÎTées comprises dans cette dbrnière équation sera précisément le nombre demandé.
Passons maintenant au cas ^^ral ob Ton considère .deux courbes à double courbure qui se touchent en un point (P). Soient toujours (Q) » ( A ) deux points situés sur ces courbes à des distances égales et infiniment petites du point de contact. Soient encore • là valeur commime de ces' distances, *> Tangle très-petit qu'elles forment entre elles ; et supposons que Ton projette les deux courbes » avec le triangle PQR , sur on plan qui de Soit pas sensiblement perpendiculaire au plan de ce triangle. Les deux courbes projetées' auront évidemment là même tangente » ou» en d'autres termes, seront tangentei Tune' h l'autre. Désignons par {p) , {q) , (r) les projections des trois points [P), {(^) , {B) par i l^anglo compris en tre les plans des triangles PQR, pqr,
. . MBMM^a. ^VB^MlMB ■VHaasa^
et par *?,x»^ i^^ angles'que les droites PQ» PB, QR forment respectivement avec Içurs projections pg $ pr, ^r. On aura
qrzzzQR cosif '== 3 1 sîn — ' . cos ^^ •
D'ailleurs , on prouve facilement que la projection de la surface dCun triangle sur un plan quelconque est équivalente à cette surface' multipliée par le cosinus de langk aigu compris entre le plan du triangle etj^: pt^^. sur ^Uquel.on pwfffiêp^^ oti', ee qui revient au même, par le cosinus de C angle aigu compris entre des droites perpendiculaires aux deux plans dont il s*qgU. -Pone-la ;surface du triangle pqr aura pour mesure le produit
(«9) — *'i?ijQ/?t;fiOS^ :f= f 'fiîfl^ — «• COS — 0*. C0S<^ r
( >«7 ) Cl le ftinos de Tangle pqr sera équivalent au quotienl qn*on obtient en dir isant le double de cette surface par le produit pq X f ^> c'esl-è- dire » à la fraclton
cos-«>»eos9 (5o) ■ , — •
Donc le produit de ce cosinus par la droite pf , ou la perpendiculaire abaissée du point (p) sur la droite fr» sera représenté par
C08i-o».COS^ ' '
Or» la valeur de Tangle ^ étant très-petite, et celles des angles f « x^ ^ iXtjA sen«-
««biement dUE&rentes de — » les quantités
COS — », COSa, COSç, CÎOS;^, .COS^J»
auront des valeurs sensibles. Gela posé, il suffira de jeter les yeu^c sur les formules (aS)
et sur Texpression (3 1 ) pour reconnaître , i / que la distance qr est , dans Thypoihise admise , une quantité infiniment petite de To/dre a + > » ^^ qi)r^elle fontae avec
la distance pq un angle pqr sensiblement di0S&rent de aéro; a.* que la dis*
tance qr est un infiniment petit du premier ordre. Observons encore que la tan- |i;eate oonunune aux deux courbes prD)elées , se confondant à très-peu près avec la
droite p q , formera elle-même avec la sécante qr un angle fini et sensible. Donc [en vertu du théorème 3.*] lu courbes projeliei auront entre elles , ainsi que Us courbes proposées , un contact de C ordre a •
Si le plan du triangle pqr devenait sensiblement perpendiioulaire au plan du triangle
PQB9 mais en continuant de former un angle sensible avec les côtés PC, Pi?, et par conséquent avec la tangente commune aux deux courbes données , le contact entre les deux courbes projetées ne pourrait être que d'un ordre égal ou supérieur au
nombre a. Alors, en effet, les distances pq^pr seraient encore des quantités
iafinimcat ^petites èa premier ordre , tandUs ■ que la dailanee q r serait infiniment petite de Tordre a -f- 1 , on d*un ordre supérieur.' Or , imaginons que , dans cette nou-^ Telle hypothèse , une sphère soit décrite du point (p ) comme centre avec un rayon
égal h pq, et que cette sphère coupe la seconde des deuxicouri^es profetéea en (s).
SI Ton joÎQt le point {s) atec les potals (7) et (r) » la droite r« sera sensiblement parallèle à la tangente commune aux deux oourbes projetées » puisque ses extré^ mités seront situées sur Tune de ces courbes à des distances infiniment petites du
point (p). Au contraire , la droite q r^ ou » en d'autres termes » la base du triangle isocèle pqs, sera sensiblement perpendiculaire à la même tangente. Donc le triangle
qra sera sensiblement rectangle en {$) , et par suite la longueur q s , sensiblement
égale ail produit qêcos^rqa), sera, ainsi que la longueur qr, un infiniment petit de l'ordre a + 1 # ou d'un ordce supérieur* Donc , en vertu du théorème s » l'ordre de contact des deux courbes projetées sera nécessairement égal où supérieur au
nombre a.
Concevons à présent que» tous les points do Tespace étant rapportés à trois axes coordonnés des 0,^ et :;, on projette successivement les deux courbes données sur le plan des Xiy, et sur le plan des x, z. Supposons d'ailleurs que l'angle compris entre l'axe des x et la tangente commune aqx deux courbes diffère sensiblement d'un angle droit. Cette tangente ne pourra être sensiblement perpendiculaire ni au plan des x ,y, ni au plan des x, z^ attendu que l'un et Taulre passent par l'axe des X. De plus 9 ces derniers plans ne pourront être, tous les deux à-la-fois , sensiblement perpendiculaires au plan du triangle PQR. Car, Jans ce cas, leur ligne d'intersection, c'^est-à -dire l'axe des x, formerait nécessairement un angle très-peu dif-
feront 4ç: — ajveç les droites PQ, PR coinprises dans lé plan PQR^ et par
consé(|u«at avec 1« tangente commune aux deux courbes. Cela posé, il résulte des principes.ciidessus éMblis que, dans l'hypothèse adoiise , le contact des.deux. courbes pro- ' jetées , 1 .<* sur le plaq des x^yt »•« s|]p le plaa des x^Zg sera toujours de l'ordre a , on d'un ordre supérieur, et sur l'un des deux plans au moins , de Tordre a seur lement. On peut donc énoncer la proposltioa suivante*.
Théorbmb 5. Pour obtenir Cordre de contact de deux courbes qui se toucRent en- un point ou I» tangentfi €fominhuno ne: formé pas un , angle droit avec Caxe des x^ il suffitr de.diercher^les nombres qui indiqueif,t. les ordres de cq^tact des- projections des deux courjfcs surlcplan des , a:,jr, etsurleplan des x,z, Cliacun de ces nombres, s ils sont égaux, pu, le plus petit d^ entre eux ^ s ils sont inégaux,, indiquera lordo'e de contact des courbes proposées*^ -♦
,Çorollflire^\.f;L& ibiôr$aie qui ptéeëde.sttbsUte égalemenl^,,dlils;ll8; e^^m les va^ rlablesi . as,,j,:^, ..^ésign^fil 4eS .eoerdonhé^ rootaflgnlàires 1» ct^da^s le eas.oùloes variables, représentent des. cK^ardonnées jobliqu»». .
Cc;rW(0Îrer fi,^ Lorsque :deux*ceurbes à double iceurb are se louchent en ub\poItitoii
la tangente ne* forme pas un angle droit avec Taxe des x, la délerminalion de Tordre du contact se trouve réduite par le 5.* théorème à ta recherche de Tordre de contact de deux courbes planes» c'est-à-dire, à un problême déjà résolu.
CaroUaire 3.* Supposons qu^e deux courbes,. représentées chacune par deux équations entre les coordonnées rectangulaires ou obliquea x^y, ^» aient entre elles un point commun correspondant à Tabscisse x, et en ce point une tangente commune non perpendiculaire à. Taxe des x , arec un contact de Tordre a • Soit d'ailleurs n ie nombre entier égal ou immédiatement supéHeur à a. Enfin, admettons que Ton prenne Tjd>scisse x pour variable indépendante, et que Ton désigne par y'^j'^y'"**t\z'tz''\.B les dérivées successives des Y«riables y eï z considérées comme fonctions de X. En vertu du 5/ théorème , les quantités
y. sV «', .... «f>
conserveront les mêmes valeurs , pour le point dont il s'agit , dans le passage de la première courbe à. la seconde,, tandis que chacune des quantités
(35) jr(«-^i>; «C^+O^
ou au moins Tune des deux changera de valeur.
Corollaire 4-* Lorsque la tangente commune aux deux courbes ne forme pas un angle droit avec Taxe des x^ et que Tordre de contact est un nombre entier, il suffit, pour déterminer cet ordre ^ de chercher la plus grande valeur qu'on puisse atiribner au nombre entier n , en choisissant ce nombre de manière que les quantités (3a) demeurent toutes invariables pour le point de contact dans le.passage d'une courbe à l'autre. Cette valeur de n indique précisément Tordre demandé.
Corollaire 5.* Si la tangente commune aux deux courbes formait un angle droit avec Taxe des x, elle ne pourrait' être à-.Ia- fois perpendiculaire au plan des x,y et ^u
plan des x, z. Par suite elle formerait un ai^ différent die: -^ a^^c Taxe'des y,
et avec Taxe des z, ou au moins avec l'un de ces deux axes. Donc« pour déterminer, dans cette hypothèse * Tordre de contact des deox courbés à Taîda du 5#? théortBiii > il suffirait de substituer à Tfkxe des x Taseles i y , ou Taxé des z^ et dé re^iplaccr ea même temps, le plan 4fes-, <»» s, ou des x^y^ .parle plali d^* j^v v.
lie 5.* théorème , ii Tàfde duquel on fixe aisément Tordre dé cbntact des deux courbes à dofibte courbnre, peut être remplacé par un autre théorème qui n'e$t sojet % aucune reslriction » et que nous allons établir* en peu de motSi:
Soît toujours (P) le point commun à deux courbes qui se touchent. Soienl encore {Q), {R) deux autres points situés sur la première et sur la seconde courbe» paiement éloignés du point de contact , et dont les distances è ce point se réduisent à m» longueur infiniment petite, désignée par i. Enfin , concerons qu'à partir du point (P) on porte sur la seconde courbe un are PS, qui ait la même longueur que Tare PQb qui soit dirigé dans le même sens, et qui aboutisse au point (5)« La
sécante QS, en vertu du théorème i.** de la page 142 $ sera sensiblement perpendiculaire « ainsi que la sécante PU, b la tangente commune. De plus, la corde RS, étant comprise entre deux points de h seconde courbe très-rapprochés du point de
contact, sera sensiblement parallèle à cette tangente. Par conséquent, danale triangle
rectilîgne QRS , les côtés QR et QS formeront avec le troisième coté RS des angles dont chacun diiTbrera très-peu d*un angle droit. Donc le rapport entre les deux premiers côtés, ou, ce qui revioiit au même, le rapport entre les sinus des angles opposés diil%rera très-peu de Tunité; et Ton aura, en désignant par / uoo quantité infiniment petite «
(34) Q5l=Qy(i4,/) = (i + /)atsinX,
D^aulropart, comme le rapport entre Parc PQ et la corde PQ = i aura pour limite l'unité « on trouvera encore, en désignant par / une quantité infiniment petite ,
(S5) arcPQ = (i-H/)»\
Cela posé, admettons que, les deux courbes ayant entre elles un contact de Tordre a , Ton considère le rayon vecteur t comme infiqiment petit du premier ordre* Il est clair que Tare P Q sera encore un infiniment petit du premier ordre , tandis que
la distance QS sera de Tordre a-^ i. Ajoutons que Tordre de cette distance ne variera pas [voyez le 3.* corollaire du théorème 4 de la page i48], si Ton prend pour base Tare PQ ou une quantité telle que Tare PQ reste infiniment petit du premier -ordre. Ces remarques suiEsent pour établir le nouveau théorème que nous allooi énoncer.
TvfcoH&KB 6.* Pour obtenir Cordrc de eontact de deux courbes qui te touchent en tp» point donn^f il tuffit de chercher le nombre qui représente C ordre de la ditlance infiniment petite comprise entre les extrémités de deux longueurs égales portéti sur Us deux courbes à partir du point de contact , dans leeasudices menus i&ngueun deviennent infiniment petites du premier ordre* Le nombre dont il ^ugit, diminué d'une unité f indique toujours C ordre du contact.
( 19» ) C&roUairt i.** Soit i la quantité infiniment petite qui représente chacune des deux longaeors xnenti<Hmée8 dans le 6.* théorème. Désignons en outre par x^y^z et par ( « « » C les coordonnées des points auxquels ces longueurs aboutissent sur la première ot la seconde courbe. Enfin » soit
la longueur de la droite menée du point ((« «i» C) au point {x^y^z)* Si Ton considère i comme un infiniment petit du premier ordre, et si Ton appelle a Tordre de contact des deux courbes » la distance a sera [en rertu du 6.* théorème] un infiniment petit de Tordre a-4-t • P^ suite» le carré de cette distance « ou la somme
(37) (ar— 0'+(y-'')'+(*-?)'
sera un infiniment petit de Tordre a a -4* ^ > ce qui exige que des trois différences
l'ane au moins soit de Tordre a + 1 , les deox entres étant du même ordre ou d'un ordre plus éloTé. On arriyerait à la même conclusion, en observant que les valeurs Dumériques des expressions (38) représentent les projections de la distance » sur les axes des x^y tX z. En efiiet, il est aisé de reconnaître qu*fciie diitanet infiniment peiUô a sa profeeiian sur un axe .quelconque Sdnu en général des quaaUités de mâme ordre. Seulement Perdre de la prejeetion peut surpasser C ordre de la distance ^ dans le cas ou celles et devient perpendiculaire à Caxe, Mais il est clair que cette dernière condition ne saurait être remise k-ia-^fois pour tes trois aies des ic , des ^ et des t.
Corollaire i.* Conservons, les mêmes notations que dans le corollaire précédent. Soit toujours a Tordre de contact dés 4eux 'courbes données , et désignons par n le nombre entier égal on immédiatement supérieur k a. Puisque, la quantité i élant regardée comme infiniment petite du premier «rdre » i^«&e des trois différences
(59) flB — 5, 7 — nr « — Ç
devra être de Tordre a + 1 , les deux autres étant du knème ordre ou d'un ordre plus élevé; il résulte de ce qui a été dit [page i46] que> si Ton prend t pour variable indépendante y
» j- » TvT » • • • • • ...' ' '» \
di ' di' '• •' di
W"/ ï 7 " » — 77 — » — rn^ — » ITT:
' di ' di- ' rfi- '
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s^éTanouiront n^vec t » tandis que chacune des dérWéea
rf"+'(«-0' rf"*?(j'r»») rf-^'(»-g)
» JTm^m >
rf4"+» rf/"*»-» rfi^^
OU du moins Tune d'entre elles cessera de s'éyanouir pour t = o . Soient d'ailjeun / et r les arcs renfermés, i.* entre un point fixe de la première des courbes données et le point mobile {xpy,z); s.* entre un point de la seconde courbe et le point (S » ^ > () ; et admettons que ces nouveaux arcs soient dirigés dans le même sens que Tare i • Gomme les trois y^riables s « 5 et r dilfèreront entre elles de quantités constantes , on aura
(4fi) dis=zdêi=::dr ;
et Ton pourra prendre pour variable indépendante» quand il s'agira de la première courbe , s au lieu de ' i; quand il s'agira de la seconde courbe, «• au lieu de i* Cela posé, les expressions (4o) et (4i] deviendront respectivement
dot rfÇ d^a rf«Ç d'^x rf»Ç
iSB— Çf -;
^wmm*
d9 rfç ' d$^ rfç» • rf*" rfç* '
dz rfÇ d*t i/"Ç d'^t rf«Ç
et
rf"+*« rf"+«Ç ^"•••"r i/*+*ii £^*+«« £^*+«ç
En égalant les quantités (43) à zéro , l'on formera les équations
ds éH d*w é»l d'm rf«{
,,Ev 1 dj dm d*y ^*i> d'y d'n
qui deyront toutes se yérifier pour le point de coiîtact deé courbes proposées , tandis
que, pour le même point» chacune des expressions (44) t ou au moins l'une d*entre
dles , obtiendra une yaleur différeinte de «Srd. Si iMiiftesant on observe qu'on ^j^t
%èxk% incouTénient substituer , quand il s*agit de h seconde courbe , les lettres x^jr^t
et 1 aux lettres C» ^, C et c, on arrivera immédiatement au théorème que nous
allons énoncer*
»# 7.* THioB&MK. Etant fTQpoUeê dcupn courbes gui sô toucheni en un point , si Von
considàrt Us eooptUmnées x, y,% de chacune éCMles comme des fonctions de Tgrc s
prisfour vaviaJble indépendante, et M Con suppose cet arc compté iiif chaque courte
de teUê manière qvCH sej>rolon^e dans le même sens pour Us deux courbas /lu-delà du
point de contact j non-seulemenl^ pour U point dont il s^agit, ies variable» x , y , z ^
et leurs dérivées du^remier ordre
A» dr dz 7s' ds' 7ê'
ne changeront pas de valeurs dçms U passage de la première courbe à la secowU ; mais il tn sera encore de môsnc des dérivées euccessives
.à^x dlm rf'y d^y rf*/ dU
ds* rfj' idê* et*' ds* tds^
jusqu'à mUêss 4kmiyC4frdT0sSe9a .imU9Jud.jiar 4eMmkbre jcotifitj^^ om injmi4i0t0nent mipét4$ur «à Cordre ^u MsiMaeL Xletles^ eerant Us demièresiqui ren^pliront Ut cflndMssi émoneâe^feA m9aesque4es 4r4>is suivantes^ tou^au smiae Cume àêH VW^é johangerùnt «te yvadeur , fuaekd .on^^assena /tjune^cûUiKbe à \FasUaa^
Corollaire i.*'*^! les deux courbes ont eillre elles un contacl de fôi^re n, ri àéfti^nt uu nombre entier » alors , dans 1e passage de 'la, première couAe'à la seconde i chacune des quantités '
dm d^K d'^m
• rfl ' rf#» • rf** '
conservera la même râleur pour le point de contact , tandis qae cbacane dés trois dérivées
d^^^m rf"^'y rft+t^
eu, att moins l'une des trois » prendra une valeur nouvelle.
Ou pourrait aisément revenir du ibéoréme 7 aux théorèmes 4 ot 5. On pourrait aosri en déduire généralement lés conditions auxquelles doivent satfsfaire Tes dé^rîvées dei coordonnées de deux courbes quelconques , pour que ces deux courbes aient entre elles un contact d*un certain ordre» dans le cas où Ton prend pour variable indépendante, non plus Tabscisse x ou Tare s», mais une fonction quelconque des coordonnées X, y, z. Toutefois» comme, pour y parvenir, il suffirait d'avoir recours à un cbangement de variable indépendante» nous ne nous étendrons pas sur ce sujet, qui ne présente aucune difficulté réelle , et nous passerons immédiatement à Texposition des principes qui nous paraissent devoir être adoptés dans la tbéorie des contacts des surfaces courbes.
Considérons deux surfaces qui se touchent en un point donné {P)» Si, par le point (P) , on mène un plan normal aux deux surfaces , les deux lignes d'intersection seront tangentes Tune à l'autre; et, si l'on fait tourner ce plan autour de la normale , les deux lignes dont il s'agit changeront en général de position et dé forme. Quant au nombre qui représentera l'ordre de contact de ces deux lignes , il pourra ou demeurer toujours le même, ou changer de valeur avec la position du plan normjil. Or, ce nombre, quand il est invariable, où* sa valeur intnftnttfi», dans le cas contiraire, sert à mesurer ce qu^on appelle V ordre de contact des deux -surfaces. Soit a cet ordre; et supposons que , hos deux surfiices étant coupées par un plan normal quelconque, c'està-dire par un plan qui renferine la normale commune, on nomme [Q) $ {B) '^ points où les courbes d'intersection , prolongées dans un certain sens , sont rencontrées pi^r IIP. arci de cercle décrit du point (P) comme centre avec un rayon très -petit désigné par s. Si l'on considère ce rayon comme infiniment petit du premier ordre,
la diatance^ QI^ > variable avec la position du plan normal, sera elle- môme une
(•iô«)
H|oanlité infeniroenl petite » A*an erdre marqué pair on netnbre eointanl tm rariable- doDt « 4- 1 ropréseûtera la Taiesr unique ou la Taleur mjfimfmi.
Goncerons maintenant que» par le point ' (Q) situé sur la première surface, on mène une sécante parallèle h une' droite qui forme avec le plan tangent commun aux deux sQrfiH^es un angle ,i sensiblement différent de zéro , mais infi^ieur ou tout au
plus ^âl 11 — 9 et que cette sécante coupe la seconde surface en {S). Dans le
trÎMigle QRS, le côté BS, sensiblement parallèle au plan tangent, puisqu'il sera compris entre deux points de la seconde surface très-rapprochés du point de contact »
formem éridemment afec les côtés QB ^ QS des angles finis» dont le premier difièrara trèa-peis d*uB*angle droit, landis. que le second sera égal ou supérieur à' i. Donc» si Ton désigne par / une quantité infiniment petite » et par à un angle
compris eolie les Inouiles ^ .al «— « 4>n num
am
ÇS= '■ '' QB.
smA
Or, il résulte de cette dernière formule que la distance infiniment petite QS sera .
poor toutes les positions du plan normal , de même ordre que la distance QB . De plaSj comme le rapport entre la perpendiculaire abaissée du point (P) sur la droite
QS ou sur son prolongement , et le rayon yecteur PQz=ii , sera équiFaient au sinus
de Tangle PQS formé par la droite QS avec une droite PQ sensiblement parallèle au plan tangent , et par conséquent une' quantité finie différente de zéro , cette perpendiculaire sera évidemment une quantité infiniment petite du premier ordre. De ces diverses remarques on déduit immédiatement la proposition suivante.
8.* THioa&iB. Uordrô de contact de deux surfacei qui se touchent en un point donné (P) esl inférieur d^une unité à la valeur unique ou à la valeur minimum du nombre qui repréeente tordre de la distance infiniment petite compriee entre les points {Q),{S) oii elles sont rencontrées par une sécante qui forme avec le plan tangent commun à ces deux surfaces un angle sensible, lorsque ton considère la distance du point de contact à In sécante dont il s^agit comme un infiniment petit du premier ordre.
Supposons que Ton ait mené par le point {P) un plan quelconque qui forme un 'ingle sensible avec le plan tangent. Ce plan coupera les deux surfaces suivant dmx nouvelles courbes. De plus, on pourra concevoir que la sécante ci ^ dessus mentionnée coïncide atec une droite comprise dans ce même plan ; et alors , en comparant le théorème précédent au 3.* théorème» ou établira sans peine une proposition que nous allons èooDcer.
( iO» )
9** fêtmiw. Lm^nw énm swfi^m am mm dU9 m un imnt ém9é 4»^ im)^
iô Cardre a , tout plan mmnât^H'Mi^m, ifm furm» «n^ 4Vig(0 âmêiky^0¥fic 4b flm^ tangent commun à ces deux wrfacei^ Ut tumpc tuivant 4itUB courir qui (M fmXn iV^ un contact de C ardre # au d^un OTib^ ^ttpéfiw/r^
Il itiyiiit» ^MnêOÊWt ioi » ntm • êeriesieiil ^^ he «edioiM Mtes An» tm 4mn aurfacet p par im plan iMnoal ou oUif uq qfù renferme k^ point commutt , pf iweit ^Toir entre elles un contact d'un ordre beaucoup plus élevé que le nombre a, mais ^u'ellei fMS^iA fiaélBe , MM wltafan cas , se conibudre entièfenient 1 une avec i autre* Alors J« nottrbre, qett rep^Ssente ftsrflre de contact des deux sections , prend une râleur infinie. 4)Pi|4MM| ^lieciii 4euK soclnw ae iséduifetft qndlquefirftà «oe aede dmito. OnpMt«flMr jR>ur fifisiiph ;ki fénéaatnw oiimia k 4aiuc «aiCices ^miiqu^s- oai •ylifi4riqoas ifoi se ftMifiluuit en un point èêaué*^
Si les deux surfaces sont représenté» far «deux ^q[ualiona eatve ias «aavdottuéei «setilignes x, y, z, et si le plan tangent mené par le point commun n'est pas sensiblement parallèle à Taxe des z, alors., nn jnpposaol la sécante QS parallèle à ce même axe , on déduira immédiatement du t^h^t»Annft Ç f^ proposition suivante*-
10.* TBioaiMB. Pour obtenir C ordre de contact de deux surfaces qu^ se touchent en un ^M <a2i le fian ftangani n^tat pus pmrmUèle ^à V^me des % * Al suffitda nsÊânsr um ordonnée trèsvoisme du ppiat dfi comt^ctt» et de /chercher UvoUtfrMniqyp mJoi'vaieur minimum du nombre constant au variable ^i rtfrisento Sordte fh, lit ffirtiém i^fi^ niment petite d* ordonnée. eomprifie entre Us deux turfaces, dans U cas ou Con^^sidère la dUtanâe du jfoînt de contact à Jf ordonnée comme infiniment petite du prenet^r ordre. Cette ^^àltur unique^ au cette ^aUur minimum, diminuée d^une unité, ^ innHque Corére du camam.
Corollaire i." Soient
tes éxfutitions des deux surfaces. Elles auront un point commua correspondant à un système de valeurs données des variables x,y , et en i:e point un plan tangent 4:ommun, non parallèle à faxe des z, si,» pour les valeurs proposées de x^y^ les formules (48) et (49) fournissent des valeurs é^les et finies , non-seulement de Tordonnée t ,
dz tiz
mais encore de ses dérivées paatielles ,p = i^- » ? ^^ T* ^ -^ 84iri«'i)ue Jns 4i((iisims
(5o> ^f{fi^,y)^^F^((Xi.,y) r
et
(Si)
'(-W7 ) dx '•'■^*M. 4fgi ' , ' <,4j ». --. dy
soient Térifiées , et que les deux membres de diÀcune £s\\^ <VllVWrT^ 4^ T^t^F* finies. Dans cette hypothèse, la dilTérence
qui s'évanouira pour les yaleun 4® i ® ^^4® / relatives au point coi^mpn , deviendra infiniment petite, quand les variables x,j recevront des accroissements infiaiment petits Ao: » A jr; et » si ^'^n^^sidère la djsfance
comme étant un infiniment' petit' du premier ordre /l'ordre de la quantité infiniment petite , qui représeiK^yi Ja iidjjrçUs »Kur d^
• H^rr^^/iJPtf)-
surpassera d*une unité Tordre de contact des ^ux surfaces. If importe d'|ijleurs À^oiserver que Texpression (55) sera une quantité -infiniment petite du premier ordre , si chacun des accroissements A9», ^ «eftt un iaAiiim€iil4petit de cet ordre , ou si;|tu)i d'eax est du premier ordre » l'autre étant nuF ou d*un ordre supérieur.
ÇârqUairc s^/ jSi Içs deux.^urra<ces Se tpudient en un point de l'axe^'ieir tr^ mais de manière que cet axe no soit pas renfermé dans le planHangent meM^'^t' 4ë pcÀnt ife contact» if suffira» d'après ce qu'on vient de dire» pour déterminer Tordre du contocf ,
de chercher le npfs^ jfpi in4ÛVfiC^ XfifiïP Al> }t -àîf*PWÇ fS^f y) — /(® »!X) > en considérant les deux variables x,y comme des infiniment petits du premier or^re , <^^Ab4î«WW^ cp P^VW^f' fTw^m^^*/^» «pérant ajiyi, on rpcoiiçaUra que Içs quatre
ont toutes entre elles » k Torigine des coordonnées » un contact du premier ordre » tandis qn'aa même point les^leux auiCstes i
ont un oontact de Tordre n » ,^t \^ ^ux suc£^9|ps
un 'contact de Fordro i==i^ '- ni .
Corollaire 3.* Supposons que les surfaces (47) et (48) aient an point commoD correspondant aux coordonnées os,/» et en ce point un plan tangent commun, non parallèle à Taxe des z , avec un contact de Tordre a • $oit d'ailleurs n le nombre entier égal ou immédiatement supérieur à id. La différence
s'évanouira; et» si l'on désigne par Ax» Âjr ^ des accroissements infiniment petits da premieiT ordre attribués aux coordonnées x.9y, répression
(55) F{x + ^x, 7+Ajr)~/(fle+.Aa5, ^ + Ajr)
sera [en vertu du corollaire i.*"] un întiniment petit de l'ordre a -4-1. D'ailleurs, pour que les accroissements aob , A jr soient infiniment petits du premier ordre , il suffira de prendre
(56) AaB=:«ii0« àx = ^dyt
en désignant par a une quantité infiniment petite dn premier ordre , et en donnant aux différentielles dx, dy, des râleurs finies. Alors l'expression (54) se présentera sous la forme
(57) F{x^oidx,y'\'OLdy)—f{x'\'f^dx,y+oLdy).
Donc', si l'on considère la yariable a comme infiniment petite du premier ordre , l'expression (57) sera , dans l'hypothèse admise , un infiniment petit de l'ordre a -f- 1 1
quelles que ^ient d'ailleurs les valeurs finies attribuées aux différentielles dx et dj. Concevons maintenant que l'on pose, pour abréger.
(58) F(a5 + ada>, y-^-^^dy) — /(fic + arfflc, J4-»*'/) = + («) •
En vertu de ce qui a été dit'[p'age i46] t^^"'^'^ (a) -sera la première des fonctions
+(«), n«), rW, etc
♦ (o), +>), ^ V{o).^tc
quiobtiendra ane valear différente de léro. On aura donc
VÊiiltun, en ajant ég«r4 tas, pipnçipe» ét«l)li»d«iis la 14.* leçoikde cakatLiafiaitétimal. oa troavera v. ~,
+ (0)= F{m,jr)'-f{w,y).
etc. . .
Oone , en aura , peur le point. eonuDUn aux. deux auHacea ,
dP{p,jr)==4fix,x),
(6») !• d'Pix,y) = d'f{x,y),
etc. •.••«.• ».
•0 , ce qui reTieni au méma^»
dy
dût
etC* • • ■ a
( :w» ') aux dîfiérentielles dx,dy, entraîneront éridemment les éqaatioDS
*l " T» »'» t.|/|» «II.»
ii»tf'i(.M^^'ir»y(4e,» W^fW^^^ïW^' ^^^*»y^-<in»»yV
rf«» rfa>» ' dxdy daij ' dy* '«y»
etc
iZ/ÇfiZi ^!/(«u2 t^'^(^>y) ^"A^yy)
dxdy"^—^ dxdy"-* ' I dy" dy"
Par conséquent , lorsque ofeux kunaceè M lônchent en un poiht ob lo plan tangent n'est pas parallèle à Taxe des z , aMMnisl0mebt^fiM»4e']Rrilt<â6kil il s^ngil « Vvfimmé» «« considérée comme fonction des deux variables «indépendantes x,y, et ses denrées partielles du premier ordre , slivoir »
ne changent pas de valeurs « dans le passage de la première slirface à la seconde; mais il en est encore de même des dérivées partielles
dxdy * dy* '*
dx^
dU
rf 3
dx^
etc. .
rf»<(y» t^'
jusqu'à celles dontTordre coîhciae avec le iMiùibre entier égal ôiilmmédi atelnent sapérieur à Tordre du contact : en d'autres termesvt si l'on déijgne «par n. ice nombre entier,. Tordolme -7 n^ "BesMifiSnMtréttes "Zolates Ses ^tters «ondres fus qu'à celle de Tordre n , c'est-à-dire les quantités
(66) z, dz, 4*z,,^^.. d^-'z, d-a,.
consbrveroiHfles inlmës Valeurs dans t|to *pM)ige ide *la premiCm^ surface à là seconde, quelles que soieAt les valeurs assignées aux d^fTésentielles '^x/^/. des vëriables indépéil^ntés. "^' '
Corollaire 4** Si » les doux surfaces ayant uo contact de Tordre a , le plan tangent commun derenail ptralMe h Taxo des z , alors, en attribuaat aux valeurs des coordonnées x^j, qui se rapportent au point de contact , des accroissements infiniment petits du premier ordre, on ne trourerait pas généralement pour les valeurs correspondantes de la différence
un infiniment petit de Tordre a 4* > • Néanmoins , on pourrait encore déterminer l'ordre du contact par la méthode dont nous avons fait usage » en substituant Tuuc des variables x^y à la variable r. Ainsi, par exemple, pour montrer que les deux
surfaces
qui touchent à Torigioe le pian dos J*^* oQt en ce point un contact du second ordre , il suffira d'observer que leurs équations résolues par rapport & x prennent 1rs formes
et que la différence
c&t un infiniment petit du troisième ordre , quand Ton considère j et » comme drs
infiniment pçtits du premier ordre. Quant à la différence F{x^y) — f[x*y) , elle
5e réduit dans cet exemple à
et lorsque Ton considère a; et j" comme des infiniment petits du premier ordre > clic
est une quantité infiniment petite , uon plus du troisième ordre , mais de Tordre — seulement. ^
Corollaire 5.* Lorsque le plan tangent commun aux deux surfaces n'est pas parallèle ^ Taxe des z , et que Tordre du contact est un nombre entier , il suflit , pour déterminer cet ordre , de chercher quelle est la dernière des équations
qui se trouve vérifiée pour le point de contact» indépenijûmmeot des valeurs attribuées aux différentielles dx.dy des variables indépendantes, L'ordre des différentielles totales comprises dans cette dernière équation sera précisément Tordre demandé.
APPLICATION DU CALCUL DES RÉSIDUS
